求导会 求简单的解法

facebooker

$a,b>0,\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1,find, max:
\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}$

kuing

$a,b>0,\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1,find, max:
\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}$
facebooker 发表于 2019-8-7 15:36

你有没有抄错题？照所求这个式，由于已经齐次，那么 1/a+2/b=1 这一条件根本是多余的。

kuing

\[\text{原式}=\sqrt2\sqrt{\frac1{1+3\cdot\frac b{2a}}}+\sqrt2\sqrt{\frac1{1+3\cdot\frac{2a}b}},\]所以还是转化为 `x`, `y>0`, `xy=1` 求 `1/\sqrt{1+kx}+1/\sqrt{1+ky}` 的最值问题，以前撸过好几回了……
（由此也可以看出条件那等式是没用的）

facebooker

回复 3# kuing

多谢。 确实那条件多余了

kuing

翻查了以前的记录，结论都不完整，再重新写一次吧……

给定实数 `k>0`，正数 `x`, `y` 满足 `xy=1`，记
\[f=\sqrt{\frac1{1+kx}}+\sqrt{\frac1{1+ky}},\]讨论 `f` 的取值范围。

解：两边平方并利用 `xy=1` 得
\begin{align*}
f^2&=\frac1{1+kx}+\frac1{1+ky}+\frac2{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}}\\
&=1+\frac{1-k^2}{(1+kx)(1+ky)}+\frac2{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}},
\end{align*}显然 `\sqrt{(1+kx)(1+ky)}\geqslant1+k`，故令
\[t=\frac1{\sqrt{(1+kx)(1+ky)}}\in\left( 0,\frac1{1+k} \right],\]则
\[f^2=(1-k^2)t^2+2t+1,\]这就变成了简单的二次函数讨论了。

当 `k\in(0,2]` 时递增；当 `k\in(2,3)` 时先增后减且右端高于左端；当 `k\in[3,+\infty)` 时先增后减且右端不高于左端（注意左右端齐平时虽然左端不能取但右端能取，故最小值也存在）。
由此得到最终结论为
\[
f\in\led
&\left( 1,\frac2{\sqrt{1+k}} \right], && k\in(0,2],\\
&\left( 1,\frac k{\sqrt{k^2-1}} \right], && k\in(2,3),\\
&\left[ \frac2{\sqrt{1+k}},\frac k{\sqrt{k^2-1}} \right], && k\in[3,+\infty).
\endled
\]

回到原题的话就是第三类，可得
\[\sqrt{\frac{4a}{2a+3b}}+\sqrt{\frac{2b}{6a+b}}\in\left[ \sqrt2,\frac32 \right].\]