能先猜出取等条件不?

yao4015

$x,y$ 是正实数, 求下式的最小值
$$f(x,y)=\frac{1+x^2+y^3+x^2y^3}{xy^2}.$$

kuing

？？分子可以变成 `(1+x^2)(1+y^3)`，这样就没难度了啊，你有没抄错题？？

yao4015

回复 2# kuing
题倒是没抄错, 因为就是我编的. 不过经你一变形, 确实难度就太低了. 改变一项吧, $y^3$ 改为 $y^4$. 难度是否有所改变?  难度似乎又太大了点.
$$f(x,y)=\frac{1+x^2+y^4+x^2y^3}{xy^2}.$$

kuing

回复 3# yao4015

首先均值
\[\frac{(1+y^3)x^2+1+y^4}{xy^2}\ge\frac{2\sqrt{(1+y^3)(1+y^4)}}{y^2},\]变成一元函数最值，但求导会出现高次方程，没得玩……

yao4015

回复 3# yao4015

可能还是改系数比较妥当些!
$x,y$ 是正实数, 求如下表达式的最小值
$$f(x,y)=\frac{1+x^2+2y^3+x^2y^3}{xy^2}.$$

kuing

回复 5# yao4015

方法还是一样的，先均值变成求
\[\frac{2\sqrt{(1+y^3)(1+2y^3)}}{y^2}\]的最小值，然后没想动脑就求导……看好不好解……好像总可以解……

kuing

\[\left( \frac{(1+y^3)(1+ky^3)}{y^4} \right)'=\frac{2ky^6-(k+1)y^3-4}{y^5}\]总是二次方程

yao4015

回复 7# kuing

所以改系数还是更为恰当.
我需要设计一个难度适中的题. 学生做, 让他可以猜到 $x=1$ 是取等的一部分, 这是第一步.
如果 $x$ 都不让猜到, 那难度就太大了. 至于 $y$ 当然不能再让直接猜到.

kuing

回复 8# yao4015

命题设计我不懂

yao4015

回复 9# kuing
你是牵了须了

kuing

回复 10# yao4015

不是牵须，的确不太懂，无法衡量何为难度适中，我觉得 5# 已经够简单，x 只是二次，猜都多余……

yao4015

回复 11# kuing

我想你可能没有真正的手算, 也没有去算5#最后的最小值是多少( 当然你并不需要关心这样的问题). 而我是必须要考虑的, 相对于1# 的最小值 $3\sqrt[3]{2}$, 5#的最小值可以用恐怖来形容
$$\frac{\sqrt[6]{404136+47304\sqrt{73}}}{2}.$$
这样的结果, 放到考试当中去, 背可能都要被骂肿. 在我看来, 它仍然不能算是难度适中的, 计算量过大了.

kuing

回复 12# yao4015

的确我只关心方法
不过要好算那也好办，继续改系数呗，就是要 7# 的方程好解，比如令 `k=5` 就行了，也就是将 5# 的 2 改成 5，这下就够简单了吧

yao4015

回复 13# kuing

$y^3$ 前的系数设置为5, 的确是一个不错的选择.  改其它的系数也是可行的,
比如将常数项改为5. 我的原始解法是不同于上面 Kuing 的解法. 比较两种解法
是各有特色. 另外, 探讨这个问题, 我自己收获很多, 根据它的变种能够设计出各
种不同难度的问题来, 比如增加变元, 改变系数, 改变幂指数等等, 变化丰富.
非常感谢Kuing.