一组与平均分组看似相关的组合题

走走看看

有6本不同的书,分给甲乙丙三人.
(1)如果每人得到两本,有多少种不同的分法?
(2)如果一个人得1本,一个人得2本,一人得3本,有多少种不同的分法?
(3)若果甲得1本,乙得2本,丙得3本呢?
(4)把这6本书分成三堆,每堆两本有多少种不同分法?
小猿搜题和作业帮，都给出了两种答案。
第一组答案：15、10、60、15。
第二组答案：90、360、60、15。

高度怀疑答案的准确性。

本人也给出一组答案，与他们都不同。不知答案对不对。
90、60、10、15
算法：
(1)  C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)
(2)  C(6,1)*C(5,2)*C(3,3)
(3)  C(6,1)*C(5,2)*C(3,3)/3!
(4)  C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/3!

请专家们赐教！

kuing

第二组是对的。

敬畏数学

归纳很好。

走走看看

回复 2# kuing

谢谢！

第一组，直接取书出来。
第二组，为什么必须先分成3组才行呢？ 先分成3组，则是C(6,3)C(3,2)C(1,1),然后3组给3人，确实是360。
第三组，直接取出来。C(6,1)C(5,2)C(3,3)=60。

第二组看成是第三组的延伸，那就是，先确定三个人中哪是甲乙丙，这样有A（3,3）种。
C(6,1)C(5,2)C(3,3)A(3,3)=360。

hbghlyj

不习惯用组合数
每一种分法都对应于n种全排列，换句话就是倍数映射，只要搞清这个n，除6!就行：
$\frac{6!}{2!^3}=90$
$\frac{6!}{1!2!3!}3!=360$
$\frac{6!}{1!2!3!}=60$
$\frac{6!}{2!^33!}=15$

走走看看

回复 5# hbghlyj

很好！

如果用组合方法，遵循下面的规则：
1、分配物品的元素不定序时，可以先分组再排列，对被分配元素进行分组后，然后全排列；
2、分配物品的元素定序时（如3），或者相当于定序时（如1），直接取用被分配元素。

走走看看

回复 3# 敬畏数学

把这个相关问题补充全面：
有6本不同的书,分给甲乙丙三人.
(1)如果每人得到两本,有多少种分法?
(2)如果一个人得1本,一个人得2本,一人得3本,有多少种分法?
(3)如果甲得1本,乙得2本,丙得3本，有多少种分法?
(4)平均分成三堆,有多少种分法?
(5)分成三堆，其中一堆1本、一堆2本、一堆3本，有多少种分法?
(6)分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法？
(7)分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？

答案：
(1)C(6,2)C(4,2)C(2,2)=90
(2)C(6,1)C(5,2)C(3,3)A(3,3)=360
(3)C(6,1)C(5,2)C(3,3)=60
(4)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/3!=15
(5)C(6,1)C(5,2)C(3,3)=60
(6)C(6,1)C(5,1)C(4,2)C(2,2)/2!/2!=45
(7)C(4,2)*C(6,1)C(5,1)C(4,2)C(2,2)=1080

分堆也就是分组。分组时要除重。

走走看看

回复 7# 走走看看


(7)分给4人，其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法？
答案：
(7)C(4,2)*C(6,1)C(5,1)C(4,2)C(2,2)=1080

当时不知道为什么写出上面的式子。
其实，无序分配，先分组后排列就好了。
(7)$\frac{C(6,1)C(5,1)C(4,2)C(2,2)}{2!2!}*A(4,4)=1080$