变模数的二次同余方程组

青青子衿

\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
x\,\equiv44&\pmod{y\,\,}\\
x^2\equiv44&\pmod{y^2}
\end{split}
\right.
\end{align*}


“变模数”？！“变魔术”

hejoseph

令 $x=my+44$，$x^2=ny^2+44$，其中 $m,n\in\mathbb{Z}$，则得方程
\[
(m^2-n)y^2+88my+1892=0
\]
当 $m^2=n$ 时，方程变为 $2my+43=0$，这是不可能的。
当 $m^2\neq n$ 时，$y$ 一定是 $1892$ 的因数，而 $1892^2=2^2\times 11\times 43$，逐一将 $y$ 值代入方程 $(m^2-n)y^2+88my+1892=0$ 中求整数解，得如下解：
1 $x$ 是任意整数，$y=\pm 1$
2 $x$ 是任意偶数，$y=\pm 2$
3 $x=947+1849t$，$y=\pm 43$
4 $x=-902+3698t$，$y=\pm 86$

青青子衿

回复 2# hejoseph
精彩！谢谢何版主！