求证一个三元不等式

lemondian

设$a,b,c$均为正实数，求证：
$\dfrac{a(a^2+bc)}{b+c}+\dfrac{b(b^2+ca)}{c+a}+\dfrac{c(c^2+ab)}{a+b}\geqslant ab+bc+ca$.

kuing

感觉以前撸过，不过懒得找了，反正简单
\begin{align*}
&\iff\sum\left( \frac{a(a^2+bc)}{b+c}+a^2+bc \right)\geqslant\sum a^2+2\sum ab\\
&\iff\sum\frac{(a+b+c)(a^2+bc)}{b+c}\geqslant(a+b+c)^2\\
&\iff\sum\frac{a^2+bc}{b+c}\geqslant a+b+c\\
&\iff\sum\left( \frac{a^2+bc}{b+c}+a \right)\geqslant2(a+b+c)\\
&\iff\sum\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}\geqslant2(a+b+c)\\
&\liff\frac{yz}x+\frac{zx}y+\frac{xy}z\geqslant x+y+z
\end{align*}

其妙

和下面这个不等式有何关系？能串联起来吗？

lemondian

回复 2# kuing
唉，最后一行我都不会证呀