有6张卡片,上面分别写着数字1,1,2,2,3,3

走走看看

有6张卡片,上面分别写着数字1,1,2,2,3,3,现随意放在桌面上排成一排做成一个6位数,则得到相同数字不相邻的六位数的概率是多少？

$这道题，有的算出答案是\frac{1}{3},有的算出是\frac{1}{5}。$

他们都把总的6位数看成720个，显然，应该是90个。

您怎么看？

走走看看

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iask.sina.com.cn/b/12970653.html
上面的答案：
    先把123全排列有3！种方法，然后插1有2种方法，再插2有3种方法，再插3有4种方法，一共有3！*2*3*4=144种方法。所以概率是
144/6！=1/5

我觉得123混杂在一起，肯定有重复的数字，一定没有144种。

yulucn.com/question/62199104
上面的答案:
排成六位数总排法有6*5*4*3*2*1=720种,即排列6A6,而符合要求的有：
个位上：6种,即6C1 （6个里选1个,假设选中1）
十位上：4种,即4C1 （此时,只有2,2,3,3可供选择,假设选中2)
百位上：(此时,有1,3,3可供选择）
假设选1：则有1种（因为只剩一个1了）,（现在还剩2,3,3）此时剩下的三位只能是323排列,有2*1*1=2种,即2C1*1C1*1C1.此时从百位到十万位共有1*2=2种；
假设选3：则有2种,即2C1（因为有两个3）,（现在还剩1,2,3）此时只能123、213排列,有4种,即2C1*2C1*1C1.此时从百位到十万位共有2*4=8种.
合计：从百位到十万位共有2+8=10种
所以符合要求的有6*4*10=240种
所以答案是240/720=1/3

kuing

枚举可知不相邻只有 5 类情况：
XYXZYZ
XYZXYZ
XYZXZY
XYZYXZ
XYZYZX
这里 XYZ 可以是 123 的任意排列，所以是 `5\times3!=30`，而总数为 `C_6^2C_4^2C_2^2=90`，因此概率为 `30/90=1/3`。

总数看成 `6!=720` 其实也没问题，只不过它不是指 6 位数有多少，而是卡片的排列有多少（不看其数字）。
这时依然可以按楼上的方法算，也就是将相同的 X, Y, Z 看成是不同的，因此需要再乘 `2^3`，即 `5\times3!\times2^3=240`，除以 `720` 同样得出 `1/3`。

走走看看

回复 3# kuing

谢谢Kuing！