三角函数求范围 看似非常简单 做起来难受

facebooker

已知三角形$ABC$中，$\ cosA+\ cosB=2\ cosC\\$,求$\ cosC $的取值范围。

kuing

大概是和差化积后利用 `\sin\frac C2<\cos\frac{A-B}2\leqslant1` 来撸吧

kuing

有技巧一点也可以这样玩儿：

一方面有
\[3\cos C=\cos A+\cos B+\cos C\leqslant\frac32;\]另一方面有
\begin{gather*}
c\cos A+c\cos B=2c\cos C,\\
b-a\cos C+a-b\cos C=2c\cos C,\\
a+b=(a+b+2c)\cos C,
\end{gather*}所以
\[\cos C=\frac{a+b}{a+b+2c}>\frac{a+b}{a+b+2(a+b)}=\frac13.\]
综上有 `1/3<\cos C\leqslant1/2`。

facebooker

回复 3# kuing

多谢 完全正确！

kuing

回复 4# facebooker

我还没做完呢，“取等”还未交待，难点在于如何说明一定能趋向 `1/3`，也就是需要去证明 `c/(a+b)\to1` 时不会与 `\cos C=(a+b)/(a+b+2c)` 产生矛盾。

facebooker

回复 5# kuing

我也是在这个地方有困惑 不知道 所以心里没底 大佬浪费点时间帮忙搞透彻了吧

isee

回复 1# facebooker

尝试了一个化边，想分解因式（猜想，会有a=b=c）结果没分解成功

============

地位对称到底，三角形中$$\cos A+\cos B+\cos C=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2+1-2\sin^2\frac C2\leqslant 2\sin\frac C2+1-2\sin^2\frac C2\leqslant \frac 32,$$这是熟知的结果，最大值OK了.

另一方面不放缩，则有$$\cos A+\cos B+\cos C=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2+1-2\sin^2\frac C2=1+2\sin\frac C2\left(\cos\frac {A-B}2-\cos\frac{\pi-C}2\right)=1+4\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2>1,$$这样似乎下界比较明显一点点

hejoseph

其实直接用和差化积再解不等式就可以了，$\sin C/2<\cos((A-B)/2)\leqslant 1$ 得
\[
\sin^2\frac{C}{2}<\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}\leqslant\sin\frac{C}{2}
\]
由
\[
\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\cos C=1-2\sin^2\frac{C}{2}
\]
即
\[
\sin^2\frac{C}{2}<1-2\sin^2\frac{C}{2}\leqslant\sin\frac{C}{2}
\]
解这个不等式即得
\[
\frac{1}{2}\leqslant\sin\frac{C}{2}<\frac{1}{\sqrt 3}
\]