关于直线的定序

hbghlyj

平面上四条直线a,b,c,d,如果c与$\triangle abd$相交且交点在a,d上,d与$\triangle abc$相交且交点在b,c上,那么称b,c,d,a是顺排列,记$\overline{bcda}$.
对于两两相交且无三线共点的直线a,b,c,d,它们的4!种排列中,只有2种是顺排列.以下图为例,有$\overline{bcda},\overline{adcb}$,而
$abcd,abdc,acbd,acdb,adbc,bacd,badc,bcad,bdac,bdca,cabd,cadb,cbad,cbda,cdab,cdba,dabc,dacb,dbac,dbca,dcab,dcba$都不是顺排列
（类似于直线上的三个点的3!种排列只有两种是顺排列而且排列相反）

hbghlyj

我们研究一下它的性质。我的手段就是按各种情况穷举，遇到不存在的情况就记下来。我们先引入一个概念：
如果$A_1,A_2$是两两相交且无三线共点的n条直线的集合,它们之间存在一个双射,保持各直线上的交点的顺序,则称$A_1,A_2$等价.
n=4时所有直线族都等价.
n=5时直线族能被分成多少等价类？

hbghlyj

n=5.(如果我没有搞错的话)应该只有六个等价类：

case1

case2

case3

case4

case5

case6

hbghlyj

回复 3# hbghlyj
刚才去掉了两种。请检查一下，剩下的这些还有等价的吗?
检查的技巧：三角形区域、四边形区域的个数相等是两个直线族等价的必要条件

hbghlyj

下面的结论是否成立？
如果$\overline{l_1l_2l_3l_4}\wedge\overline{l_2l_3l_4l_5}\wedge\overline{l_3l_4l_5l_6}\wedge\overline{l_4l_5l_6l_7}\wedge\overline{l_5l_6l_7l_1}\wedge\overline{l_6l_7l_1l_2}$,则$\overline{l_7l_1l_2l_3}$

hbghlyj

回复 2# hbghlyj
证明或证伪：如果两个直线族之间存在一个双射,保持每个四直线组的顺序,则两个直线族等价
平面上的圆能否定序，使得它不依赖于坐标架的选择
---------
任意直线族L,存在一个直线族M,L和M等价且M中的直线均为单位圆的切线
这是错的。例如

这五条直线把平面分成的每个区域内的圆都至多与四条直线相切。

hbghlyj

回复 4# hbghlyj
如果只考虑单位圆的切线,对于$x\in(-\pi,\pi]$,点$(\cos x,\sin x)$用对应的大写字母X表示,用$Ca_1a_2\cdots a_n$表示"$A_1A_2\cdots A_n$按顺时针排列在劣弧$A_1A_n$上",则A,B,C,D处的切线按顺序排列等价于$Cabcd\lor Cdcba$.
$Cabc\Leftrightarrow (a\ge0\wedge a>b>c>a-\pi)\vee (a<0\wedge (a>b>c\vee a>b>c-2\pi>a-\pi\vee a>b-2\pi>c-2\pi>a-\pi))$
$Cabcd\Leftrightarrow (a\ge0\wedge a>b>c>d>a-\pi)\vee (a<0\wedge (a>b>c\vee a>b>c>d-2\pi>a-\pi\vee a>b>c-2\pi>d-2\pi>a-\pi\vee a>b-2\pi>c-2\pi>d-2\pi>a-\pi))$
$Cabcd\Leftrightarrow Cabd\wedge Cbcd$

hbghlyj

回复 8# hbghlyj
用MMA举随机数验证6#:

1. c[a_, b_, c_, d_] =
2. Boole[(a >= 0 &&
3.      a > b > c > d > a - \[Pi]) || (a <
4.       0 && (a > b > c || a > b > c > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi] ||
5.        a > b > c - 2 \[Pi] > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi] ||
6.        a > b - 2 \[Pi] > c - 2 \[Pi] > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi]))];
7. f[{a1_, a2_, a3_, a4_, a5_, a6_, a7_}] =
8. c[a1, a2, a3, a4] c[a2, a3, a4, a5] c[a3, a4, a5, a6] c[a4, a5, a6,
9.   a7] c[a5, a6, a7, a1] (1 - c[a6, a7, a1, a2]);
10. list = Table[Table[RandomReal[{-Pi, Pi}], 7], 10000];
11. Extract[list,Position[f /@ list, 1]]

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输出反例{-2.5, 2.7, 1.4, 1, 0, -1, -1.5}

所以6#是伪命题

hbghlyj

下面是一种坐标化的方法，虽然比较麻烦，但能涵盖平面上所有直线族。
作足够大的圆包含所有直线的交点在内,每条直线与圆有两个交点,直线$l_i$与圆的交点的幅角为$a_{i},b_{i}$,则$\overline{l_1l_2l_3l_4}\Leftrightarrow Cl_1l_2l_3l_4\lor Cl_4l_3l_2l_1$,
$Cl_1l_2l_3l_4\Leftrightarrow(m_1>m_2>m_3>m_4
>n_1>n_2>n_3>n_4\land \sin\frac{m_1-m_2}2\sin\frac{m_3-n_1}2\sin\frac{n_2-n_3}2<\sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{n_1-n_2}2\sin\frac{m_1-n_3}2\land \sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{m_4-n_1}2\sin\frac{n_2-n_3}2<\sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{n_1-n_2}2\sin\frac{m_1-n_3}2))$
$\lor (m_2>m_3>m_4
>m_1>n_2>n_3>n_4>n_1)\land \sin\frac{m_1-m_2}2\sin\frac{m_3-n_1}2\sin\frac{n_2-n_3}2<\sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{n_1-n_2}2\sin\frac{m_1-n_3}2)$
$\lor(m_3>m_4
>m_1>m_2>n_3>n_4>n_1>n_2\land \sin\frac{m_1-m_2}2\sin\frac{m_3-n_1}2\sin\frac{n_2-n_3}2<\sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{n_1-n_2}2\sin\frac{m_1-n_3}2)$
$\lor(m_4
>m_1>m_2>n_3>n_4>n_1>n_2>n_3\land \sin\frac{m_1-m_2}2\sin\frac{m_3-n_1}2\sin\frac{n_2-n_3}2<\sin\frac{m_2-m_3}2\sin\frac{n_1-n_2}2\sin\frac{m_1-n_3}2)$
$m_i=\max(a_i,b_i),n_i=\min(a_i,b_i)$
待修改》。。

hbghlyj

下面这个定理是我做出的只包含直线的序关系的定理中最短小的了
若$\overline{l_1l_2l_3l_4},\overline{l_2l_5l_3l_4}$,则$\overline{l_1l_5l_3l_4}$
这个用单位圆的切线族实验验证过了

1. c[a_, b_, c_, d_] =
2.   Boole[(a >= 0 &&
3.       a > b > c > d > a - \[Pi]) || (a <
4.        0 && (a > b > c || a > b > c > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi] ||
5.         a > b > c - 2 \[Pi] > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi] ||
6.         a > b - 2 \[Pi] > c - 2 \[Pi] > d - 2 \[Pi] > a - \[Pi]))];
7. f[{a1_, a2_, a3_, a4_, a5_}] =
8.   c[a1, a2, a3, a4] c[a2, a5, a3, a4] (1 - c[a1, a5, a3, a4]);
9. list = Table[Table[RandomReal[{-Pi, Pi}], 5], 10000];
10. Extract[list, Position[f /@ list, 1]]

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重复好几次输出反例都是空集

hbghlyj

虽然6#的结论是伪命题，但仿照这种格式得到一批真命题.我们考虑1,2,3,4的置换,一对倒置中只保留一个,那么有12个命题,除6#是伪命题外,而其余的11个命题中
(1)"若$\overline{l_1l_2l_4l_3}\wedge\cdots\wedge\overline{l_6l_7l_2l_1}$,则$\overline{l_7l_1l_3l_2}$"的条件是不成立的,进而得出"若$\overline{l_1l_2l_4l_3}\wedge\overline{l_2l_3l_5l_4}\wedge\overline{l_3l_4l_6l_5}\land\overline{l_4l_5l_7l_6}$,则$\overline{l_5l_6l_7l_1}\lor\overline{l_1l_5l_7l_6}$"
数值检验：
{-0.4581211444683291,-0.8855325309951212,-1.276270330335267,-1.8809012141826873,-1.885805640028452,-1.9018216471949971,-2.9627047422192447}, {-0.2593044221802927,-0.44991424957516557,-0.45075691345157765,-1.081561912137186,-1.5321341092845184,-1.6782006454889924,-1.7842343360988533},{-0.4210995207178012,-0.5213035434342057,-0.5977243784061415,-1.6897761758783867,-2.4913000890390604,-2.648030056394443,-2.8233053129998096}符合第一种情况$\overline{l_5l_6l_7l_1}$,而{-0.1765841844874778, -2.6753052396140795, -2.1059774591285123,-3.0617352353236766}符合第二种情况$\overline{l_1l_5l_7l_6}$
(2)"若$\overline{l_1l_3l_2l_4}$"
(3)"若$\overline{l_1l_3l_4l_2}$"
(4)"若$\overline{l_1l_4l_2l_3}$"
(5)"若$\overline{l_1l_4l_3l_2}$"
(4)"若$\overline{l_2l_1l_3l_4}\wedge\ldots$,则$\overline{l_1l_7l_2l_3}$"
(5)"若$\overline{l_2l_1l_4l_3}\wedge\ldots$,则$\overline{l_1l_7l_3l_2}$"是真命题
(5)