一道导数压轴题

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已知函数$f(x)=(\dfrac{1}{x}+a)\ln(x+\dfrac{1}{a}),x>0$
(1)当$a\geqslant 0$时 证明函数$f(x)$是增函数.
(2)是否存在实数 $k$使得只有唯一的正数$a$当$x>0$时恒有$f(x)\leqslant k(x+\dfrac{1}{a})$,若这样的实数$k$存在 试求$k,a$的值，若不存在请说明理由。