袋中台球的组合问题

青青子衿

有15个不相同台球，经过一场激烈的比赛后，台球桌的六个袋子中所装的球数各不相同（空袋子里的球数记为零）。
问：
①考虑袋子之间是相同的情况下，有多少种组合方式？
②考虑袋子之间是不相同的情况下，又有多少种组合方式？

【注】两者差6的阶乘倍

青青子衿

回复 1# 青青子衿
第一问的方法一：（取出法）
\begin{align*}
\,&\binom{15}{5}\binom{15-5}{4}\binom{15-5-4}{3}\binom{15-5-4-3}{2}\binom{15-5-4-3-2}{1}\\
\\
=\,&\binom{15}{5}\binom{10}{4}\binom{6}{3}\binom{3}{2}\binom{1}{1}
=2^3\cdot3^3\cdot5^2\cdot7^2\cdot11\cdot13=37837800
\end{align*}
第一问的方法二：（公式法）
\(\,15=0*1+1*1+2*1+3*1+4*1+5*1\,\)
\begin{align*}  
\,&\dfrac{15!}{1!\,1!\,1!\,1!\,1!\,1!\cdot(0!)^1(1!)^1(2!)^1(3!)^1(4!)^1(5!)^1}\\
\\  
=\,&\dfrac{15!}{1!\,2!\,3!\,4!\,5!}
=\dfrac{15\cdot\prod\limits_{\scriptsize{k_1=13}}^{14}k_1\cdot\prod\limits_{\scriptsize{k_2=10}}^{12}k_2\cdot\prod\limits_{\scriptsize{k_3=6}}^{9}k_3\cdot\prod\limits_{\scriptsize{k_1=1}}^{5}k_4}{1!\,2!\,3!\,4!\,5!}\\
\\
=\,&\binom{\small{15}}{1}\binom{\small{15-1}}{2}\binom{\small{15-1-2}}{3}\binom{\small{15-1-2-3}}{4}\binom{\small{15-1-2-3-4}}{5}\\
\\
=\,&\binom{15}{1}\binom{14}{2}\binom{12}{3}\binom{9}{4}\binom{5}{5}
=2^3\cdot3^3\cdot5^2\cdot7^2\cdot11\cdot13=37837800
\end{align*}

色k

回复 2# 青青子衿

能不能稍微解释一下

青青子衿

回复 3# 色k
就是想象有15个不同的球被五个人抓。
（也可以是六个人抓，只不过有一个人什么都抓不到）
要求他们中有一个人抓到5个、同时又有一个人抓到4个、
同时又有一个人抓到3个、同时有有一个人抓到2个、
最后这个人抓到一个。他们抓球的顺序不固定就是第一问
（即抓球不分先后）。这就是方法一（取出法）。

方法二是利用了“Bell多项式”的系数。
公式就是15可以拆成一个5加上一个4加上一个3加上一个2再加上一个1，
那么15个互异的球若分为五组，每组个数分别为1，2，3，4，5；
这样分组的数目为\(\,N(15;1,2,3,4,5)=\dfrac{15!}{1!\,1!\,1!\,1!\,1!\,1!\cdot(0!)^1(1!)^1(2!)^1(3!)^1(4!)^1(5!)^1}\,\)
...

1. Coefficient[
2. BellY[15, 5, {Subscript[x, 1], Subscript[x, 2], Subscript[x, 3],
3.    Subscript[x, 4], Subscript[x, 5]}], Subscript[x, 1]
4.    Subscript[x, 2] Subscript[x, 3] Subscript[x, 4]
5.    Subscript[x, 5]]

Copy the Code

...
较一般的，29可以拆成三个4加上两个5再加上一个7；
那么29个互异的球这样分组的数目为\(\,
\,N\big(29\,;\,\underbrace{4+4+4}_{(3)}\,,\,\underbrace{5+5}_{(2)}\,,\underbrace{7}_{(1)}\,\big)
=\dfrac{29!}{3!\,2!\,1!\cdot(4!)^3(5!)^2(7!)^1}\,
\,\)
[基本完成]

kuing

原来之前我一直看错了题……