一道有点神的无穷级数题

业余的业余

油管上看到的一道香港竞赛题的变体

求$\displaystyle S=\cfrac {60}{100\cdot 101}+\cfrac {60\cdot 61}{100\cdot 101\cdot 102}+\cfrac{60\cdot 61\cdot 62}{100\cdot 101\cdot 102\cdot 103}+\cdots$

色k

总算搞到一个裂项
\[\frac{a(a+1)\cdots(a+n)}{b(b+1)\cdots(b+n)(b+n+1)}=\frac1{b-a}\left( \frac{a(a+1)\cdots(a+n)}{b(b+1)\cdots(b+n)}-\frac{a(a+1)\cdots(a+n)(a+n+1)}{b(b+1)\cdots(b+n)(b+n+1)} \right)\]

业余的业余

牛。关键要素都出来了。我估计你已经做出来了。

kuing

回复 3# 业余的业余

套用 2# 的公式后，`S` 的部分和就是
\[\frac1{100-60}\left( \frac{60}{100}-\frac{60\times61\times\cdots\times(60+n)}{100\times101\times\cdots\times(100+n)} \right),\]亦即
\[\frac1{100-60}\left( \frac{60}{100}-\frac{60\times61\times\cdots\times99}{(61+n)\times(62+n)\times\cdots\times(100+n)} \right)\]可见 `n\to\infty` 时后面那个分式趋向零，所以结果就是 `3/200`。

isee

题漂亮，拆得更漂亮

业余的业余

漂亮。

下面是我看到的另一个比较容易懂的解，和k版的法子大同小异。

$\displaystyle S=\cfrac{60}{100\cdot 40}\left(\cfrac {101-61}{101}+\cfrac { 61\cdot(102-62)}{101\cdot 102}+\cfrac{ 61\cdot 62\cdot(103-63)}{101\cdot 102\cdot 103}+\cdots\right)$
$=\cfrac 3{200}\left(1-\cfrac {61}{101}+\cfrac {61}{101}-\cfrac{61\cdot 62}{101\cdot 102}+\cfrac{61\cdot 62}{101\cdot 102}-\cfrac{61\cdot 62\cdot 63}{101\cdot 102\cdot 103}+\cdots\right)$
$=\cfrac 3{200}$

显然，这里的$60$ 和 $100$ 是随便选的，并不具有特殊性。

k版的解交代清楚了末项的极限趋于$0$, 一定程度上更严谨。

还有个也比较简短的聪明解(我觉得不比这个更好), 没有这个直观，不贴出来了。

kuing

回复 6# 业余的业余

这题交待末项趋向零是很有必要的，因为那个末项至少表面看上去未必会趋向零，需要再变个形才清楚。

业余的业余

回复 7# kuing

是的。