数列不等式一题

hongxian

已知数列：\(a_0,a_1,\cdots,a_n\)满足\(a_0=\dfrac12,a_{k+1}=a_k+\dfrac1na_k^2\)  \((k=0,1,\cdots,n-1)\)
求证：\(1-\dfrac1n<a_n<1\)

kuing

似曾相识的说
而且以前见过的题好像是用函数零点来导出那个递推的，翻翻贴子先

hongxian

回复 2# kuing

不能直接数归,怕是要加强,只是怎样加强不太会了!

kuing

我记错了……

kuing

右边比较简单，先证了它。显然 $a_n$ 递增，故
\[a_{k+1}=a_k+\frac1na_k^2<a_k+\frac1na_ka_{k+1},\]
得到
\[\frac1{a_k}<\frac1{a_{k+1}}+\frac1n,\]
让 $k$ 取 $0$ 到 $n-1$ 求和得
\[\frac1{a_0}<\frac1{a_n}+1,\]
即得
\[a_n<1.\]

hongxian

回复 5# kuing


    沿这个路走下去应该可以了
\(\because a_{k+1}=a_k+\dfrac1na_k^2\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_{k+1}}=\dfrac{1}{a_k}-\dfrac{1}{a_k+n}\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_{k+1}}-\dfrac{1}{a_k}=-\dfrac{1}{a_k+n}<\dfrac{-1}{n+1}\)
\(\therefore \dfrac{1}{a_n}=\left(\dfrac{1}{a_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}\right)+\left(\dfrac{1}{a_{n-1}}-\dfrac{1}{a_{n-2}}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_0}\right)+\dfrac{1}{a_0}\)
\(\therefore\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{-n}{n+1}+2=\dfrac{n+2}{n+1}\)
\(a_n>\dfrac{n+1}{n+2}=1-\dfrac{1}{n+2}>1-\dfrac1n\)

kuing

回复 6# hongxian

嗯应该可以了，好像还强了些

其妙

老题？

realnumber

回复 8# 其妙
应该很老，以前在k12数学论坛 听网友说是“1980年匈牙利等四国联合竞赛”，6楼的结果似乎比那网友转述的还要好.
可能是这篇，我没法下
cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXJI198202012.htm