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\(\require{cancel}\)学生-三五(1036******) 2013-11-3 10:40:48
帮忙
呃，我说，要不要涂画成这个样子 ，我都几乎看不清 $f(x)$ 了。
这个题挺麻烦的，尤其是那个 $f(x)$，我做出来还没有一个答案正确。
先化简一下，有
\begin{align*}
f(x)&=\sin^2[x]+\sin^2\{x\}-1 \\
&=\sin^2[x]-\cos^2\{x\} \\
&=-\cos ([x]+\{x\})\cos ([x]-\{x\}) \\
&=-\cos x\cos ([x]-\{x\}) \\
&=-\cos x\cos (2[x]-x),
\end{align*}
设 $k\in\mbb Z$，于是
\[f(x)=0\iff x=k\pi+\frac\pi2~\text{或}~2[x]-x=k\pi+\frac\pi2.\]
下面证明 $x=k\pi+\pi/2$ 的解集与 $2[x]-x=k\pi+\pi/2$ 的解集没有共同的元素。
用反证法，假设存在 $k_1$, $k_2\in\mbb Z$ 以及 $x_0$ 使 $x_0=k_1\pi+\pi/2$ 且 $2[x_0]-x_0=k_2\pi+\pi/2$，则
\begin{gather*}
2\left[ k_1\pi+\frac\pi2 \right]-\left( k_1\pi+\frac\pi2 \right)=k_2\pi+\frac\pi2, \\
2\left[ k_1\pi+\frac\pi2 \right]=(k_1+k_2+1)\pi,
\end{gather*}
上式左边为整数右边为无理数，矛盾。
接下来分别求两种解的个数。
由 $x=k\pi+\pi/2$ 得 $k=x/\pi-1/2$，由于 $x\in[0,316]$，得 $-1/2\leqslant k\leqslant 316/\pi-1/2$，由于 $3.14<\pi<3.16$，易得 $\xcancel{99<316/\pi-1/2<100}$，所以解得 $k=0$, $1$, $2$, \ldots, $\xcancel{99}$，即此类解共 $\xcancel{100}$ 个；
—— 更正：应该为 $100<316/\pi-1/2<101$，所以这里应该是 101 个解。
记 $h(x)=2[x]-x$，设 $a\in\mbb Z$，则当 $a\leqslant x<a+1$ 时，有 $h(x)=2a-x\in (a-1,a]$，注意到当 $a$ 取不同的整数时 $(a-1,a]$ 不会有交集，可见 $h(x)=c$ 最多只有一个解。
再求 $x\in[0,316]$ 时 $h(x)$ 的值域，易知为 $(-1,315]\cup \{316\}$，所以 $2[x]-x=k\pi+\pi/2$ 的解的个数等同于使 $k\pi+\pi/2\in(-1,315]\cup \{316\}$ 的 $k$ 的个数。
显然 $k\pi+\pi/2$ 不会是整数，所以不用考虑 $316$ 和 $315$，令 $-1<k\pi+\pi/2<315$，得 $-1/\pi-1/2<k<315/\pi-1/2$，由 $3.14<\pi<3.15$ 易证 $-1<-1/\pi-1/2<0$ 以及 $99<315/\pi-1/2<100$，所以也解得 $k=0$, $1$, $2$, \ldots, $99$，共 100 个。
综上，$f(x)=0$ 的解共 $\xcancel{200}$ 个。
—— 更正：应为 201 个。
至于 $g(x)$，分别作出 $[x]\cdot\{x\}$ 及 $x/3+1$ 的图即可，较易，略。 |
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转化与化归
Posted at 2013-11-3 21:28:36
