二次曲线与圆外切四边形的问题

hejoseph

如图，点 $A$ 是二次曲线 $\varGamma:ax^2+by^2=1$ 上的动点，点 $B$、$D$ 在二次曲线 $\varGamma$ 上，且直线 $AB$、$AD$ 是圆 $O:x^2+y^2=r^2$ 的切线，分别过点 $B$、$D$ 作圆 $O$ 不同于直线 $AB$、$AD$ 的切线，两切线相交于点 $C$，
（1）求点 $C$ 的轨迹方程。
（2）若点 $A$ 的坐标是 $(x_0,y_0)$，四边形 $ABCD$ 的面积是 $S$，求 $S$。

hejoseph

发一些结论：点 $C$ 的坐标是
\[
\left(\frac{-(a-b)(3a+b)r^4+2(a+b)r^2+1}{(a-b)^2r^4+2(a+b)r^2-3}x_0,\frac{(a-b)(a+3b)r^4-2(a+b)r^2+1}{(a-b)^2r^4+2(a+b)r^2-3}y_0\right)
\]
直线 $AC$ 与 $BD$ 交点的坐标是
\[
\left(\frac{(a+b)r^2-1}{(-a+b)r^2+1}x_0,\frac{(a+b)r^2-1}{(a-b)r^2+1}y_0\right)
\]
四边形 $ABCD$ 的面积是
\[
8\left|\frac{\left((a-b)^2r^4-1\right)\left(\left(a^2x_0^2+b^2y_0^2\right)r^2-1\right)}{\left((a-b)^2r^4+2(a+b)r^2-3\right)\left((a-b)^2r^4-2(a-b)\left(ax_0^2-by_0^2\right)r^2+1\right)}\right|r\sqrt{x_0^2+y_0^2-r^2}
\]
有了那些结论，轨迹方程的推导就完全没问题了。

kuing

顺便贴两个早前的相关链接：
forum.php?mod=viewthread&tid=2595
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