两道求最小值题

lemondian

两道求最小值题：
1.设正实数$a,b,c$满足$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{2c^2}{a+b}+c=2$，求$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c+1}$的最小值。
2.已知两定点$A(-1,0),B(1,2)$，$M$是圆$O:x^2+y^2=3$上的动点，求$\sqrt{3}|MA|+|MB|$的最小值。

kuing

第二题明显就是阿氏圆啊，论坛上都出现过这么多次了，怎么一点都学不到？？？

lemondian

回复 2# kuing
没用过，所以也不会搞，唉

kuing

回复 3# lemondian

x 轴上会有一点 C 使得 `MC:MA` 为定值，你自己尝试找一下这个点在哪里，以及定值是多少。

kuing

第一题感觉是个坑，要撸出来似乎只能作各种猜猜猜，不但要猜取等，还要猜命题思路等等，然后就是凑，所以下面的解法用一般的正面思维去看是难以理解的。

对已知等式两边加 `5(a+b+c)` 得
\begin{align*}
&\left( \frac{a^2}{b+c}+2a+b+c \right)+\left( \frac{b^2}{c+a}+2b+c+a \right)\\
&+\left( \frac{2c^2}{a+b}+4c+2a+2b \right)=2+5(a+b+c),
\end{align*}即
\[(a+b+c)^2\left( \frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac2{a+b} \right)=2+5(a+b+c),\]对左边使用柯西，得
\[2+5(a+b+c)\geqslant(a+b+c)^2\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{2(a+b+c)}=\bigl( 3+2\sqrt2 \bigr)(a+b+c),\]得到
\[a+b+c\leqslant\frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1,\]再对所求式用柯西，得
\[\frac1a+\frac1b+\frac2{c+1}\geqslant\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{a+b+c+1}\geqslant\frac{\bigl( 1+1+\sqrt2 \bigr)^2}{\sqrt2+2}=2+\sqrt2,\]当 `a=b=1`, `c=\sqrt2-1` 时等号成立，所以这就是最小值。

lemondian

回复 4# kuing
人好少，都去度假了？
趁着今天有空，学习了一下阿氏圆，做了一下这个题：

取点$C(-3,0)$，如图，$\sqrt{3}|MA|+|MB|=|MC|+|MB|\geqslant |BC|$,当$B,M,C$共线时，最小值为$|BC|=2\sqrt{5}$.
取等条件好象不好看：$(\dfrac{-3+2\sqrt{6}}{5},\dfrac{12+2\sqrt{6}}{5})或(\dfrac{-3-2\sqrt{6}}{5},\dfrac{12-2\sqrt{6}}{5})$。
@kunig,第一次做这个，不知对不对？

kuing

回复 6# lemondian

取等我没算，其实也不用算，只需证明线段BC与圆相交就行。