3道不等式

lemondian

3道不等式：
1.已知正数$a,b$满足$a+b=2$，求证：$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\geqslant a^2+b^2$。
2.设$n\inN,n>3$，不小于$\frac{1}{4}$的$n$个正数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$之和为2，求证：$n-1<\dfrac{1}{1+x_1^2}+\dfrac{1}{1+x_2^2}+\cdots +\dfrac{1}{1+x_n^2}<\dfrac{27}{25}(n-1)$。
3.设$\alpha _i\in(0,\dfrac{\pi}{2}),i=1,2,3,4,tan\alpha _1tan\alpha _2=tan\alpha _3tan\alpha _4$，求证：$\dfrac{1}{5tan^2\alpha _1-2tan\alpha _1+1}+\dfrac{1}{5tan^2\alpha _2-2tan\alpha _2+1}+\dfrac{tan^2\alpha _3}{tan^2\alpha _3-2tan\alpha _3+5}+\dfrac{tan^2\alpha _4}{tan^2\alpha _4-2tan\alpha _4+5}\geqslant 1$。

lemondian

回复 1# lemondian
第1题，用作差好象能做，有没有其它方法呢？

kuing

第一个就不说了；
第二个 `\displaystyle 1-\frac x2<\frac1{1+x^2}<\frac{27}{25}\left(1-\frac x2\right)`；
第三个只是想对命题的吐个槽（除非楼主抄错抄漏）：既然全部都是 tan，那写 tan 还有啥意义？直接用正数 a,b,c,d 不就好了吗？也不用楼主打得那么辛苦了……

lemondian

回复 3# kuing

第3个原题如此；
第2个的$\dfrac{1}{1+x^2}<\dfrac{27}{25}(1-\dfrac{x}{2})$如何证得？

kuing

回复 4# lemondian

去分母因式分解即得，同时注意题目条件的限制，xi 有范围。

kuing

3.设$\alpha _i\in(0,\dfrac{\pi}{2}),i=1,2,3,4,tan\alpha _1tan\alpha _2=tan\alpha _3tan\alpha _4$，求证：$\dfrac{1}{5tan^2\alpha _1-2tan\alpha _1+1}+\dfrac{1}{5tan^2\alpha _2-2tan\alpha _2+1}+\dfrac{tan^2\alpha _3}{tan^2\alpha _3-2tan\alpha _3+5}+\dfrac{tan^2\alpha _4}{tan^2\alpha _4-2tan\alpha _4+5}\geqslant 1$。
lemondian 发表于 2019-9-28 22:30

原题的tan写法已经繁，加上楼主打函数名永远不加 \ 就显得更加难看，所以首先将题目改成常规写法，即：

`a`, `b`, `c`, `d>0`, `abcd=1`，求证
\[\frac1{5a^2-2a+1}+\frac1{5b^2-2b+1}+\frac1{5c^2-2c+1}+\frac1{5d^2-2d+1}\geqslant1.\]

这个其实还是有点难度的，首先我们证明如下菊部不等式
\[\frac1{5a^2-2a+1}+\frac1{5b^2-2b+1}\geqslant\frac1{(ab)^2+1}.\quad(*)\]
记 `p=a+b`, `q=ab`，此菊部去分母后可整理为
\[f(p)=5p^2q^2+2pq(5-q)-10q^3-23q^2-4q+1\geqslant0,\]求导得 `f'(p)=2q(5pq+5-q)`，令 `\sqrt q=v`，则 `5pq+5-q\geqslant10v^3+5-v^2`，显然恒正，即 `f'(p)>0`，故
\[f(p)\geqslant f(2v)=(v-1)^2(10v^4+16v^3-v^2+2v+1)\geqslant0,\]所以菊部得证。

注意到 `xy=1` 时 `1/(x+1)+1/(y+1)=1`，所以
\[\frac1{5a^2-2a+1}+\frac1{5b^2-2b+1}+\frac1{5c^2-2c+1}+\frac1{5d^2-2d+1}\geqslant\frac1{(ab)^2+1}+\frac1{(cd)^2+1}=1.\]

lemondian

回复 5# kuing
$\dfrac{1}{4}<x_i<1$
去分母后：$27x^3-54x^2-27x-4<0$,
分解成什么呢？

kuing

回复 7# lemondian

有个符号错了。
修正后可试根。

PS、右边我漏了写等号。

lemondian

回复 8# kuing
明白了！谢谢！
还有一个地方不明白：6#：显然恒正，看不懂哩

kuing

噢还有 xi 的上限也不是 1 是 5/4，比如 n=4 时 xi 可以为 1/4, 1/4, 1/4, 5/4

kuing

回复 9# lemondian

………… `v^3+v^3+1` 就已经 `\ge3v^2`，何况 `10v^3+5` ？

敬畏数学

做一下第一题：去分母得：$ a^3+b^3\geqslant a^3b+ab^3 , (a+b)(a^2-ab+b^2)\geqslant ab(a^2+b^2),2[(a+b)^2-3ab]\geqslant ab[(a+b)^2-2ab],(ab)^2-5ab+4\geqslant 0,(ab-4)(ab-1)\geqslant 0,$ 而$ ab\leqslant (\dfrac{a+b}{2} )^2=1,$上式显然成立。

lemondian

回复 10# kuing
1.那么左边的不等式是不是也应该有等号？
2.如何确定$x$的取值范围？
我开始蒙圈了

lemondian

回复 6# kuing
这个地方也是没看明白，kuing写得太省纸了。。。

kuing

回复 12# 敬畏数学

`a^2/b+b^2/a\ge a^2(2-b)+b^2(2-a)=a^2+b^2+(a-b)^2` 瞬间加强了原不等式

敬畏数学

回复 15# kuing
nice！

lemondian

@kuing:
我学着写了一个证法，请你帮忙看一下哪有问题。谢谢！

kuing

回复 17# lemondian

谁说 xi 不能全相等，只是全相等时能不能让不等式取等而已。

左边要取等，xi 得全为 1，不可能，所以左边不取等。

右边要取等，xi 得全为 1/3，而这正是有可能的！就是当 n=6 时，可见原不等式右边必须补上等号！

lemondian

回复 18# kuing
谢谢！@kuing我自已也感觉有问题，所以标注红色，但不会如何说明！

敬畏数学

其他两个不等式证了很长时间，证得憋屈且丑，怀疑这是试题（2，3）吗？肯定不及格了。