组合数行列式

hbghlyj

计算n阶矩阵$\left(C^j_{n+i}x^i\right)_{n\times n}$的行列式

青青子衿

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计算形如$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{C_0^0}&{C_1^0k}&{C_2^0{k^2}}&{C_3^0{k^3}}\\
0&{C_1^1}&{C_2^1k}&{C_3^1{k^2}}\\
0&0&{C_2^2}&{C_3^2k}\\
0&0&0&{C_3^3}
\end{array}} \right)$的n阶矩阵的行列式
hbghlyj 发表于 2019-9-29 23:28

emmmm, 是不是抄错题了呢？该矩阵已经是上三角矩阵了呀！
该矩阵的行列式就是其对角线元素之积了呀！

青青子衿

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计算n阶矩阵$\left(C^j_{n+i}x^i\right)_{n\times n}$的行列式
hbghlyj 发表于 2019-9-29 23:28

Table[MatrixForm[
   Table[Binomial[n + i, j] x^(i - 1), {i, 1, n}, {j, 1, n}]],
   {n, 4}] // Column
Table[Det[
   Table[Binomial[n + i, j] x^(i - 1), {i, 1, n}, {j, 1, n}]],
   {n, 6}] // Column
Table[Binomial[2 n, n] x^(n (n - 1)/2), {n, 6}] // Column

\[ \det\left(C^j_{n+i}x^{i-1}\right)_{n\times n}=C^n_{2n}x^{\frac{n(n-1)}{2}} \]
\[ \det\left(C^j_{n+i}x^i\right)_{n\times n}=C^n_{2n}x^{\frac{n(n+1)}{2}} \]

hbghlyj

Which Way Did the Bicycle Go 趣题选（中）   Matrix67: The Aha Moments


21. 把杨辉三角写成方阵：

  1  1  1  1  1 …
  1  2  3  4  5 …
  1  3  6 10 15 …
  1  4 10 20 35 …
  1  5 15 35 70 …
  …
  …

证明：对任意正整数 n ，方阵的前 n 行 n 列组成的矩阵，其行列式总为 1 。

答案：对 n 施归纳。当 n=1 时，显然成立。考虑方阵的前 n 行 n 列，若每一行都减去它的上面一行，就变成了：

  1  1  1  1  1  …
  0  1  2  3  4  …
  0  1  3  6 10  …
  0  1  4 10 20  …
  0  1  5 15 35  …
  …
  …

再把每一列都减去它的前一列：

  1  0  0  0  0  …
  0  1  1  1  1  …
  0  1  2  3  4  …
  0  1  3  6 10  …
  0  1  4 10 20  …
  …
  …

显然其行列式与 n-1 阶时相同