$x^p-x+k$在$\mbb{Z}$上可约

hbghlyj

设$p$是素数，$x^p-x+k$在$\Bbb{Z}$上可约，则$p\mid k$

Czhang271828

个人暂时不明白 Fermat 小定理在此题中的用处, 但以下解法应该相当本质且简易了.

若 $x^p-x+k$ 在 $\mathbb Z$ 上可约, 则其一定在 $\mathbb Z_p$ 上可约. 以下只需证明 $\mathbb Z_p$ 上的多项式 $x^p-x-a$ 在 $a\neq 0$ 时不可约.

有限域 $\mathbb F_p$ 上总有 $(x+y)^p=x^p+y^p$, 从而存在 $\mathbb F_p$ 上恒同的自同构 $\sigma: x\mapsto x^p$. 记 $E$ 为 $x^p-x+a$ 在 $\mathbb F_p$ 上的分裂域, 则对任意 $x^p-x+a$ 的根 $r$, 总有 $\sigma(r)=r^p=r-a$.

若 $x^p-x+a$ 不可约, 则 $\sigma$ 在 $\{\text{roots of }x^p-x+a\}$ 上作用可迁, 即对任意根 $r_1,r_2$ 总存在 $s\in\mathbb Z_p$ 使得 $\sigma^s (r_1)=r_2$. 此时等价于 $a\neq 0$.