三角形的填空压轴题 不知道从何入手 求思路

facebooker

$\triangle ABC$中,$G$为重心，$O$为外心.$AG=GO$,求$\cos A$的取值范围___

kuing

暂时没啥巧妙的想法，上已知结论吧，由中线长公式易知 `9AG^2=2b^2+2c^2-a^2`，用向量方法易证 `9GO^2=9R^2-a^2-b^2-c^2`（参考 forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4942&pid=23439 的 3#），故此
\[AG=GO\iff b^2+c^2=3R^2\iff\sin^2B+\sin^2C=\frac34,\]接下来应该不会太难搞……暂且不撸，回头再想别的方法……

kuing

下面这样撸好一点，至少不用知道什么已知结论。由条件有
\[
AG^2=GO^2=\bigl(\vv{AG}-\vv{AO}\bigr)^2=AG^2-2\vv{AG}\cdot\vv{AO}+R^2,
\]故
\[
R^2=2\vv{AG}\cdot\vv{AO}=\frac23\bigl(\vv{AB}+\vv{AC}\bigr)\cdot\vv{AO}=\frac13(b^2+c^2),
\]

敬畏数学

回复 3# kuing
向量解法

isee

回复 3# kuing

怎么确定$B-C$的范围？

kuing

回复 5# isee

看看这样说行不行：不妨设 `B\leqslant C`，易证 `\sin^2B+\sin^2C=1-\cos(B-C)\cos(B+C)`，所以由上面得到的 `\sin^2B+\sin^2C=3/4` 得
\[\cos A=-\frac1{4\cos(B-C)}.\]
（1）当 `B`, `C` 均为锐角时，则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\searrow\riff\cos(B-C)\nearrow$，故由上式知当 $(B,C)\to(0,60\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小，当 `B=C` 时 `\cos A` 最大，即 `\cos A\in(-1/2,-1/4]`；

（2）当 `C` 为钝角时，则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\nearrow\riff B+C\nearrow\riff\cos A\searrow$，故当 $(B,C)\to(0,120\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小，且 `B` 可增加至使 `A\to0`，所以 `\cos A\in(1/2,1)`。

综上，`\cos A` 的取值范围是 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。

游客

kuing

回复 7# 游客

有道理，不过还需要作一点讨论。
如上图的 M 继续向左移时，会有一刻使 C 跑到 A 处，这一点得去掉，并且在此之前 A 为锐角，之后为钝角。

facebooker

回复 6# kuing

答案完全正确！不过标答是用几乎纯几何法算的

kuing

续 8#：动图演示：
A、C 重合的一刻： （易证此时 `OM=R/2`）
所以，当 `OM\in(R/2,R)` 时，`A` 为锐角，`\cos A=OM/R\in(1/2,1)`；
而 `OM` 最小取到 `R/4`，当 `OM\in[R/4,R/2)` 时，`A` 为钝角，`\cos A=-OM/R\in(-1/2,1/4]`。
综上同样得答案 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。

kuing

回复 9# facebooker

贴一下答标呗

facebooker

回复 11# kuing

基本上就是楼上这个动态图了 你的基本上就是标答了

kuing

回复 12# facebooker

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