求最值的一个小题 有时间的进来瞅瞅啊

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$x,y\in(\frac{1}{4},1),\log_x(y-\frac{1}{4})+\log_y(x-\frac{1}{4})$的最小值__

kuing

不妨设 `1/4<x\leqslant y<1`，则 `\ln(y-1/4)\geqslant\ln(x-1/4)`, `1/\ln x\geqslant1/\ln y`，故由排序不等式得
\[\text{原式}=\frac{\ln(y-1/4)}{\ln x}+\frac{\ln(x-1/4)}{\ln y}\geqslant\frac{\ln(x-1/4)}{\ln x}+\frac{\ln(y-1/4)}{\ln y},\]而由均值有 `x^2+1/4\geqslant x`，得到当 `1/4<x<1` 时有
\[\ln(x^2)\geqslant\ln\left(x-\frac14\right)\iff\frac{\ln(x-1/4)}{\ln x}\geqslant2,\]对 `y` 同理，所以原式 `\geqslant4`，当 `x=y=1/2` 时取等，所以最小值就是 `4`。