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[函数] 涉及三角形的内角大小问题

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力工 posted 2019-10-25 18:19 |Read mode
$\triangle ABC$的内角$A,B,C$所对的边分别为$\sqrt{A},\sqrt{B},\sqrt{C}$,求$A,B,C$的大小.

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kuing posted 2019-10-26 00:09
依题意,由正弦定理有
\[\frac{\sin^2A}A=\frac{\sin^2B}B=\frac{\sin^2C}C,\]令 `f(x)=\sin^2x/x`, `x\in(0,\pi)`,不难证明其先增后减,可见至少有两个角相等,不妨设 `A=B`,则
\[\cos A=\frac{\sqrt C}{2\sqrt A}=\frac{\sqrt{\pi-2A}}{2\sqrt A},\]上述方程通过目测可发现有三个解 `A_1=\pi/2`, `A_2=\pi/3`, `A_3=\pi/4`,当然 `A_1` 得舍去,所以至少有两种三角形符合题意:正三角形、等腰直角三角形。

但是,如何证明那方程再无其他解?待续……

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kuing posted 2019-10-26 02:37
回复 2# kuing

续:令
\[g(x)=\cos^2x-\frac{\pi-2x}{4x},\quad x\in\left( 0,\frac\pi2 \right],\]楼上已经说明 `g(x)` 至少三个零点,现在假设 `g(x)` 存在四个零点,这意味着 `g'(x)` 存在三个零点,`g''(x)` 存在两个零点,`g'''(x)` 存在零点,而事实上经计算知
\[g'''(x)=4\sin2x+\frac{3\pi}{2x^4},\]它在 `(0,\pi/2)` 上显然恒正,所以 `g(x)` 不存在第四个零点,综上,答案就是正三角形或等腰直角三角形。

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