两个三元不等式

力工

有些题是变形能力的体现 ，而有些题则是聪明与否的区别。我自认为差大神们几个宇宙距离。
1.已知实数$a,b,c:0<a\leqslant b\leqslant c$，试证：
$\Sigma\sqrt{\dfrac{a}{a+2b}}\leqslant 2\sqrt{3}$.
2.三角形$ABC$中，求证：$a^2sin\frac{A}{2}+b^2sin\frac{B}{2}+c^2sin\frac{C}{2}\geqslant 2\sqrt{3}S$.

kuing

1、右边多了个2，见《撸题集》P.645 题目 5.1.39

kuing

话说这个第二题其实很弱啊……

首先对左边用均值，只需证
\[3\sqrt[3]{a^2\sin\frac A2b^2\sin\frac B2c^2\sin\frac C2}\geqslant2\sqrt3S,\]两边立方，并利用 `2S=ab\sin A` 等化简即
\[3\sqrt3a^2b^2c^2\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2\geqslant8S^3=a^2b^2c^2\sin A\sin B\sin C,\]右再用一下两倍角公式，也就是
\[3\sqrt3\geqslant8\cos\frac A2\cos\frac B2\cos\frac C2,\]这是显然的。