一个数列的上界

力工

数列${a_n}$满足$a_1=3,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2(n+1)^2})a_n+\dfrac{1}{4^n}$，
证明：$a_n<6$.(参考数据：$e^\dfrac{7}{20}≈1.419$)

kuing

这个不难，也无需用到那参考数值。

易得 `a_2=4`，显然 `a_n` 递增，故当 `n\geqslant2` 时 `a_n\geqslant4`，又显然
\[\frac1{n^2(n+1)^2}<\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2},\]所以当 `n\geqslant2` 时有
\[\frac{a_{n+1}}{a_n}=1+\frac1{n^2(n+1)^2}+\frac1{4^na_n}<1+\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}+\frac1{4^{n+1}},\]于是
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_2}
&<\prod_{k=2}^n\left( 1+\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}+\frac1{4^{k+1}} \right)\\
&<\left( \frac1{n-1}\sum_{k=2}^n\left( 1+\frac1{k^2}-\frac1{(k+1)^2}+\frac1{4^{k+1}} \right) \right)^{n-1}\\
&=\left( 1+\frac1{n-1}\left( \frac1{2^2}-\frac1{(n+1)^2}+\frac1{48}\left( 1-\frac1{4^{n-1}} \right) \right) \right)^{n-1}\\
&<\left( 1+\frac1{n-1}\left( \frac14+\frac1{48} \right) \right)^{n-1}\\
&<\left( 1+\frac1{n-1}\cdot\frac13 \right)^{n-1}\\
&<\sqrt[3]e,
\end{align*}所以
\[a_n<a_2\sqrt[3]e=4\sqrt[3]e<4\sqrt[3]3<4\sqrt[3]{\frac{27}8}=6.\]

力工

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7．数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=3, a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n^2(n+1)^2}\right) a_n+\frac{1}{4^n}$ ，求证：$a_n<6$ ．（已知：$e^{\frac{7}{20}} \approx 1.419$ ）
证明：（i）证明：$f(x)=\ln (x+1)-\sqrt{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减，$g(x)=\ln (x+1)-x \leq 0(x>0)$ ．由于 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \leq \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+1}=0, g^{\prime}(x)=\frac{1}{x+1}-1<0, \therefore f(x)<f(0)=0$ ，且 $g(x)<g(0)=0$ ，故原命题成立．即 $\ln (x+1)<\sqrt{x}, \ln (x+1)<x(x>0) \Leftrightarrow x+1<e^{\sqrt{x}}$ ．
（ii）计算得 $a_2=4, a_3=\frac{601}{144}<6$ ．而 $a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n^2(n+1)^2}\right) a_n+\frac{1}{4^n}<e^{\frac{1}{n(n+1)}} a_n+\frac{1}{4^n}$ ．
$$
\text { 从而 } \frac{a_{n+1}}{a_n}<e^{\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{4^n a_n} \Rightarrow \ln \frac{a_{n+1}}{a_n}<\ln \left(e^{\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{4^n a_n}\right) \text {. }
$$

由于 $\ln \left(e^{\frac{1}{n(n+1)}}+\frac{1}{4^n a_n}\right)-\ln \left(e^{\frac{1}{n(n+1)}}\right)=\ln \left(1+\frac{\frac{1}{4^n a_n}}{e^{\frac{1}{n(n+1)}}}\right)<\frac{\frac{1}{4^n a_n}}{e^{\frac{1}{n(n+1)}}}<\frac{\frac{1}{4^n a_n}}{e^0}=\frac{1}{4^n a_n}$ ，
$$
\text { 故 } \ln \frac{a_{n+1}}{a_n}<\ln \left(e^{\frac{1}{n(n+1)}}\right)+\frac{1}{4^n a_n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{4^n a_n}, \text { 累加得 } \ln \frac{a_n}{a_3}<\frac{1}{3}-\frac{1}{n}+\sum_{i=3}^n \frac{1}{4^n a_n}
$$
$$
<\frac{1}{3}+\sum_{i=3}^n \frac{1}{4^n a_3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{a_3}\left(\frac{\frac{1}{4^3}\left(1-\left(\frac{1}{4}\right)^{n-2}\right)}{1-\frac{1}{4}}\right)<\frac{1}{3}+\frac{1}{192 a_3} \Rightarrow \frac{a_n}{a_3}<e^{\frac{1}{3}+\frac{1}{192 a_3}} \cdot(n>3)
$$

所以 $a_n<a_3 e^{\frac{1}{3}+\frac{1}{192 a_3}}=\frac{601}{144} e^{\frac{38608}{115392}}<\frac{21}{5} e^{\frac{7}{20}}<\frac{21}{5} \cdot \frac{142}{100}=\frac{2982}{500}<6 \text { ．证毕．} . \text { ．}$

kuing

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这答案和我都想到了将 `a_n` 除过去，而我之后是连乘+放缩裂项+均值，他是取对数+放缩+累加，相比之下，我的处理很简洁，他的比较复杂而且不够紧，以至于要保留到 `a_3`，数字就难看了。
本质上，其实两种处理方法大致是相通的，而之所以我的更紧，关键在于我的 1/n^2(n+1)^2<1/n^2-1/(n+1)^2 比他降次裂项更紧，因此，如果他也用上这个，应该也不需要用 `a_3`。