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isee
posted 2021-8-23 23:11
在知乎回的四点共面的充要条件，也写一下。
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总之（这个共面向量定理表述是比较麻烦的，有两个细节，包括一些部分常见的资料里，也会有些小问题）：
若 `A,B,C,D` 四点共面且 `A,B,C` 三点不共线，则对在平面 `ABC` 外任一点 `O` 有 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC} `且` x+y+z=1` .
反之，若对空间任意一点 `O` 和不共线的三点 `A,B,C` 满足 `\overrightarrow{OD}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}` 且 `x+y+z=1` ，则 `A,B,C,D` 四点共面.
具体证明略.
由和 1 推四点共面，在具体题中一般（会默认三点不共线，否则就过于简单，平凡）没有问题；但是由四点共面推和 1就要特别注意不共线，不共面这两个条件了，比如 2005年全国卷数学理科第15题.
罢了，已经晚了，也有可能追问，我就把题帖上来吧：
`\triangle ABC` 的外接圆的圆心为 `O` ，两条边上的高的交点为 `H`， `\overrightarrow{OH}=m\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)` ，则实数 `m = \_1\_`.
(得到结果倒是容易，只需要所三角形特殊为等腰直角三角形即可.)
但是如果不注意点`O`在平面`ABC`内，就是出现 `m+m+m=1\Rightarrow m=\frac 13` 这种莫名的错误. |
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