数列题目 一会等比 一会等差 真的欲罢不能

facebooker

数列$\{a_n\}$满足条件：对任意的$m,n\inN^*$,都有$a_{m+n}\geqslant a_m+a_n$,则称数列{$a_n$}具有性质$P$.
1)已知各项均为正数的等比数列{$a_n$}具有性质$P$,求数列公比$q$的最小值
2)已知各项均为正整数的数列$\{a_n\}$具有性质$P$.设$b_n=a_{a_n},c_n=a_{1+a_n}$,若数列$\{b_n\},\{c_n\}$均为等差数列,求证数列$\{b_n\},\{c_n\}$有相同的公差.

hbghlyj

回复 1# facebooker
(1)$q^{m+n}\geq q^m+q^n$,设$m\geq n$,$q^{m}\geq q^{m-n}+1$,若0<q≤1,$q^{m}\geq 1+1$,矛盾,若q>1,左边最小值是q,右边最大值是2,$q\geq 2$

kuing

回复 2# hbghlyj

？？`m`, `n` 没说不能相等，所以可以令 `m=n=1` 得 `q^2\ge2q` 即 `q\ge2` 吧？反之当 `q\ge2` 时 `q^{m+n}\ge q^m+q^n\iff(q^m-1)(q^n-1)\ge1` 显然成立，所以 `q\ge2` 是充要。

hbghlyj

回复 3# kuing
哦！已经修改了