面积比的取值范围

lemondian

已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)$，若直线$l$与圆$x^2+y^2=r^2(其中\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2})$相切，且直线$l$和椭圆交于$A,B$两点，$O$为原点，$OA,OB$分别与圆交于$C,D$两点，设$\triangle AOB,\triangle COD$的面积分别为$S_1,S_2$，求$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围。

kuing

结论：椭圆 `x^2/a^2+y^2/b^2=1`（或双曲线 `x^2/a^2-y^2/b^2=1`（`b>a>0`））上两点 `A`, `B`，有 `OA\perp OB\iff AB` 与 `x^2+y^2=r^2` 相切，其中 `1/r^2=1/a^2+1/b^2`（或 `1/r^2=1/a^2-1/b^2`），并且有 `1/r^2=1/OA^2+1/OB^2`。

所以在本题中，有
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac{OA\cdot OB}{r^2}=\frac{OA}{OB}+\frac{OB}{OA}\geqslant2,\]另外，圆与双曲线必相交，当 `A`, `B` 中的一个点趋向那交点时另一点趋向无穷远（其实这还需要论证一下，不过懒了），所以比值可以无穷大，所求范围就是 `[2,+\infty)`。

lemondian

回复 2# kuing

（1）这个结论$\dfrac{1}{r^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}$对双曲线也成立吗？
（2）对于椭圆来说，$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围是什么呢？

色k

回复 3# lemondian

（1）这是用了直角三角形里的结论：1/h^2=1/a^2+1/b^2，其中 h 是斜边上的高，a, b 为直角边。
（2）自己来。

lemondian

回复 4# 色k
谢谢！
（1）明白这个了。
（2）对于椭圆，$\dfrac{S_1}{S_2}$的取值范围我是用解析法，死算$\dfrac{S_1}{S_2}\in[2,\dfrac{a^2+b^2}{ab})$，运得量好大，也不知对不对？
有没有更好的做法？

kuing

回复 5# lemondian

擦，椭圆难道不是更简单吗？同样是 `S_1/S_2=OA/OB+OB/OA`，不妨设 `a<b`，则 `OA`, `OB\in[a,b]`，故 `a/b\leqslant OA/OB\leqslant b/a`，当 `A`, `B` 取椭圆顶点时取等，所以 `S_1/S_2\in[2,a/b+b/a]`。

双曲线时尚且有待论证 `A`, `B` 可以无穷远才能说明比值可以无穷大，而椭圆没有这个问题，所以我说它更简单。