三角形几何三道

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△ABC中,O为外心,I为内心,H为垂心,D,E,F分别为三边中点
(1)点D在边AC上,F在BD上,∠BEF=∠ABC,证明∠ABF=∠CED
(2)$AB·AC=BC^2$, $J$为△DEF内心, 求证$AJ⊥JH,AJ_1⊥J_1H$
(3)OI中点为M,AI与BC中垂线交于D,BI,CI与对边交于E,F,求证MD⊥EF

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(2)三线坐标A(1:0:0)
J($\frac{b+c}a : \frac{c+a}b :\frac{a+b}c$)
AJ($0:\frac{a+b}c:-\frac{c+a}b$)
只需证明A,H,与AJ垂直的方向的无穷远点三点共线
$\begin{vmatrix} \frac{b+c}a & \frac{c+a}b &\frac{a+b}c\\ \frac1{\cos A} & \frac1{\cos B} &\frac1{\cos C} \\ -\frac{a+b}c\cos C+\frac{c+a}b\cos B&\frac{a+b}c+\frac{c+a}b\cos A&-\frac{c+a}b-\frac{a+b}c\cos A \end{vmatrix}=0$
化简到最后为$-(b-c)^2(-a^3-a^2(b+c)+a(b^2+c^2)+b^3+b^2c+bc^2+c^3)+(a-c)(a^2-b^2+c^2)(a^2-ab-2b^2+bc-c^2)-(a-b)(-a^2-b^2+c^2)(a^2-ac-2c^2+bc-b^2)=
-2(c-b-a)(c-b+a)(c+b-a)(bc-a^2)$
所以$a^2=bc$
(3)
$\begin{vmatrix}(2a+b+c)\cos A+b\cos B+c\cos C& a\cos A+(a+2b+c)\cos B+c\cos C&a\cos A+b\cos B+(a+b+2c)\cos C\\1+\cos B+\cos C&-1+\cos A-\cos C&-1+\cos A-\cos B\\-a&b+c&b+c\end{vmatrix}=0$
化简到最后是
$2\sin A\sin B\sin C-\sin A\cos A-\sin B\cos B-\sin C\cos C=0$
这是一个恒等式。原题得证。

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斯俾克心(Spieker center)

• 过$D,E,F$分别作此三角形内切圆切点三角形 对应三边的垂线，它们交于一点$J$，称Spieker点。 Spieker点是三角形“线框”的重心，同时又是三个 旁切圆的根心。容易看出$J$是中点三角形$DEF$的内 心，而中点三角形与原三角形关于重心$G$是1：2位 似的，由此$2GJ=IG$。
• 过$D,E,F$分别作对应的三角形ABC三个旁 切圆切点所构成的三角形三边的垂线，证明：它们 交于一点，分别记作$J_1,J_2,J_3$，在此我们称其为 原三角形的“旁Spieker点”。
• $J$是$\triangle J_1J_2J_3$的垂心，四个Spieker点 构成垂心组。
• 三角形$J_1J_2J_3$的三条高的垂足为三角形$ABC$ 三边中点$D,E,F$。

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请问(1)怎么做