不等式 调整法 非常规取等条件

hbghlyj

已知$a+b+c+d=2$.求证:$\frac a{a^2-a+1}+\frac b{b^2-b+1}+\frac c{c^2-c+1}+\frac d{d^2-d+1}\leq\frac83$
当$(\frac12,\frac12,\frac12,\frac12)$或(3,3,3,-1)时取等

kuing

是 `(1/2,1/2,1/2,1/2)` 或 `(1,1,1,-1)` 取等

kuing

若所有变量都非负，则由 `x^2-x+1\geqslant3/4` 得 $\LHS\leqslant4(a+b+c+d)/3=\RHS$；

若有两个变量为负，则由 `x/(x^2-x+1)\leqslant1` 得 $\LHS<2<\RHS$；

所以只需考虑有且只有一个变量为负的情形即可，不妨设 `a<0`。

记 `D=(-\infty,1/2]\cup[2,+\infty)`，易知 `x\in D\iff x/(x^2-x+1)\leqslant2/3`，因此，若 `b`, `c`, `d` 中有一个属于 `D`，则 $\LHS<2/3+2=\RHS$。

故此，剩下只需考虑 `a<0` 且 `b`, `c`, `d\in(1/2,2)` 的情形即可，而这正是《撸题集》P.655 题目 5.1.48！

PS、当年录入时就觉得当时的题的条件有多余成份，但也没仔细去想，直到现在才知道真相：当年贴题的人估计就是像上面这样分析，排除掉了各种简单的情形，剩下 `a<0` 且 `b`, `c`, `d\in(1/2,2)` 时不会证，就把它加到条件里再发到群里问的。