最大公约数的扩张

hbghlyj

二次域F=Q[ρ],f(a,b)是定义在F*上的二元对称函数,满足f(a,b)=f(a+b,b)=f(a+b,ab),且$\forall m,n\in\Bbb{Q}*$,f(m,n)=gcd(m,n),对任意a,b,f(a,b)的值是否唯一确定？
例如$f(2,\sqrt2+1)=f(-\sqrt2+1,\sqrt2+1)=f(2,-1)=1$