椭圆求离心率

Tesla35

已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左右焦点分别为$F_1,F_2$,动弦$AB$过焦点$F_1$,若$|\vv{F_2A}-\vv{F_2B}|\geqslant|\vv{F_2A}+\vv{F_2B}|$恒成立,则椭圆$E$的离心率的取值范围是\blank.



图中的$\frac{2b^2}{a}\geqslant4c$是怎么来的？

facebooker

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    几何有个结论： 钝角三角形最长边中线与最长边一半的关系，2倍的中线长<对应的最大边长。直角是等于.
所以当|AB|最短的时候就是⊥x轴 此时如果满足 那其他情况下必然也可满足。此时可口算得到这个答案的不等式

kuing

回复 2# facebooker

这个解释还是不够的。
`F_1F_2` 并不是中线，只是在垂直的时候才是。
不垂直时 `AB` 加长，但中线或许更加长长长。
所以只需补充说明：当不垂直的时候，中线 `<F_1F_2`。
当然这从图上看还是很显然的。

敬畏数学

满足：（1）钝角或者直角三角形，钝角或者直角的中线F2D必须满足：2F2D≤AB（过焦点的弦长即钝角或者直角的对边长），(2)椭圆F2D必须满足：C＜F2D≤2C，则对于任意的弦AB恒成立，AB≥2C，AB的最小值为$2b^2/a$≥4C