请教一道不等式证明题

longma

已知 $\left\{\begin{array}{l}M \geq|c| \\ M \geq|16+4 b+c| \\ M \geq\left|c-\frac{b^2}{4}\right|\end{array}\right.,(b, c \inR) \text {, 证明: } M \geq 2 \text {. }$

kuing

原题是什么？

longma

酷版，原题是这样的：
已知 $b, c \inR$ ，若 $\left|x^2+b x+c\right| \leq M$ 对任意的 $x \in[0,4]$ 恒成立，则（ ）
A．$M$ 的最小值为 1
B．$M$ 的最小值为 2
C．$M$ 的最小值为 4
D．$M$ 的最小值为 8

kuing

回复 3# longma

那不就是最常规的取点类型么……
令 `f(x)=x^2+bx+c`，则 `4M\geqslant |f(0)|+2|f(2)|+|f(4)|\geqslant |f(0)-2f(2)+f(4)|=8`。

longma

回复 4# kuing

酷版，这有什么原理吗？

敬畏数学

这样的东西就是要你多刷题背题。没有刷过你就倒霉！

longma

由 $\left\{\begin{array}{l}M \geq|c| \\ M \geq|16+4 b+c| \\ M \geq\left|c-\frac{b^2}{4}\right|\end{array}\right.$ 可得 3 种情况：
(1)$\left\{\begin{aligned}
2 M \geq|-2 c| \\
M \geq|16+4 b+c|  \\
M \geq\left|c-\frac{b^2}{4}\right|
\end{aligned} \right.$
$\begin{aligned} \Rightarrow 4 M \geq|-2 c|+|16+4 b+c|+\left|c-\frac{b^2}{4}\right| & \geq\left|(-2 c)+(16+4 b+c)+\left(c-\frac{b^2}{4}\right) \right\rvert\, \\ & =\left|16+4 b-\frac{b^2}{4}\right|=\frac{1}{4}\left|b^2-16 b-64\right| \\ & =\frac{1}{4}\left|(b-8)^2-128\right| \geq 0\end{aligned}$
此时 $M \geq 0$

(2)$\left\{\begin{aligned}M \geq|c| \\ 2 M \geq|-32-8 b-2 c| \\ M \geq\left|c-\frac{b^2}{4}\right|\end{aligned}\right.$
$\begin{aligned} \Rightarrow 4 M \geq|c|+|-32-8 b-2 c|+\left|c-\frac{b^2}{4}\right| & \geq\left|c+(-32-8 b-2 c)+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)\right| \\ & =\left|-\frac{b^2}{4}-8 b-32\right|=\frac{1}{4}\left|b^2+32 b+128\right| \\ & =\frac{1}{4}\left|(b+16)^2-128\right| \geq 0\end{aligned}$
此时 $M \geq 0$

(3)$\left\{\begin{aligned}M \geq|c| \\ M \geq|16+4 b+c| \\ 2 M \geq\left|\frac{b^2}{2}-2 c\right|\end{aligned}\right.$
$\begin{aligned} \Rightarrow 4 M \geq|c|+|16+4 b+c|+\left|\frac{b^2}{2}-2 c\right| & \geq\left|c+(16+4 b+c)+\left(\frac{b^2}{2}-2 c\right)\right| \\ & =\left|\frac{b^2}{2}+4 b+16\right|=\frac{1}{2}\left|b^2+8 b+32\right| \\ & =\frac{1}{2}\left|(b+4)^2+16\right| \geq 8\end{aligned}$
此时 $M \geq 2$

请问，为什么（1）（2）两种情况，不可以。