这样调整，对吗

Shiki

原题：对正实数$a_1....a_9$
$$\prod_{cyc} \frac{a_5+a_6+a_7+a_8+a_9}{a_1+a_2+a_3+a_4}\geqslant (\frac{5}{4})^9$$

证明：令$x_1=a_1+a_2+a_3+a_4,.....$
不妨设$a_1+....+a_9=1$则$x_1+....x_9=4$
即证$\prod (\frac{1-x}{x}) \geqslant (\frac{5}{4})^9$

$$(\frac{1-x}{x})(\frac{1-y}{y})\geqslant (\frac{2-x-y}{x+y})^2$$
$$\Leftrightarrow(1-x-y)((x+y)^2-4xy)\geqslant 0$$

对$x_1，x_5$等进行调整，至只剩一个变量

$$f(x)=(\frac{4+x}{4-x})^8(\frac {1-x}{x})$$

求导即证。

kuing

没看出有啥问题，除了笔误（中间漏打个平方），另外，连乘的代码应该用 \prod 而不是 \Pi

hbghlyj

回复 1# Shiki
主楼的解法是把a,b调整成$(\frac{a+b}2,\frac{a+b}2)$,类似于Jensen.下面是另一种调整法。
当$x_i$不全相等时,设$x_k<\frac49<x_l$,则$\frac{(1-x_k)(1-x_l)}{x_kx_l}>\frac{(1-\frac49)(1-x_k-x_l+\frac49)}{\frac49(x_k+x_l-\frac49)}\Leftrightarrow \frac{( \frac49-x_k) (x_l-\frac49) (1-x_k-x_l)}{x_kx_l(x_k+ x_l- \frac49)}>0$,所以可将$x_k,x_l$调整为$\frac49,x_k+ x_l- \frac49$使原式减小而$x_i$之和仍为4.所以当$x_i$不全相等时,原式取不到最小值.当$x_i$无限趋于相等时,由连续性,原式的值与$x_i$都相等时相同.


注意，由于
1 1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0 1的逆矩阵是
0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25
0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25
0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25
0.25        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        -0.75
-0.75        0.25        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25
0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25
0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25
0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        0.25        -0.75
-0.75        0.25        0.25        0.25        -0.75        0.25        0.25        0.25        0.25
也就是说,$x_i>0$不能保证$a_i>0$,调整过程中可能出现$a_i≤0$的情况.但这不影响证明的正确性.
但别的同学都说这题之所以能够这样做是因为4与9互质,他们说每次只能调整那些不含公共的$a_i$的$x_i$,也就是$x_i$与$x_i\pm4$,再根据互质两数的完全剩余系,总能通过$x_i$与$x_i\pm4$的调整来实现$x_i$与$x_l$的调整
例如要实现1与4的调整:1-5-9-4

Shiki

谢谢各位指正！

色k

怎么此帖仅作者可见？？？

力工

请问为什么要设置成作者可见？

Shiki

已经改掉了，大概是码字的时候不小心摸到了，向大家说声对不起

kuing

“不小心摸到了”