两道三元不等式

hbghlyj

(1)x,y,z>0,求$\frac{\sum x(2x-y-4z)^2}{xyz}$的取值范围
$[27,+\infty)$当且仅当x:y:z=1:1:1或0:1:2时取最小值
(2)$x^4+y^4+z^4+xy^3+yz^3+zx^3≥2(x^3y+y^3z+z^3x)$
当且仅当x:y:z=1:1:1或$\sin\frac{\pi}9:\sin\frac{2\pi}9-\sin\frac{\pi}3:\sin\frac{2\pi}9$时取等

yao4015

题目是不是有点问题? 因为明显 $(1,1,1)$ 代入后达到最小值 $27$.

kuing

x,y,z>0,求$\frac{\sum x(2x-y-4z)^2}{xyz}$的取值范围
$[27,+\infty)$当且仅当$x:y:z=\sin\frac{\pi}9:\sin\frac{2\pi}9-\sin\frac{\pi}3:\sin\frac{2\pi}9$时取最小值
hbghlyj 发表于 2019-12-28 12:59

由轮换对称性不妨设 `x=\min\{x,y,z\}`，则
\[\sum x(2x-y-4z)^2-27xyz=(y+4z-5x)(x-2y+z)^2+9x(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\geqslant0,\]当 `x=y=z` 时取等，所以原式最小值为 `27`。

hbghlyj

回复 2# yao4015
已改正。谢谢

hbghlyj

回复 3# kuing
原来输错题了,不好意思

色k

回复 5# hbghlyj

那么第2个就是vasc的一个不等式

yao4015

两个题目解法相同, 最小代换. Kuing 已经给出了第一题的解法. 下面给出第二题的解法.

令
$$f=x^4+y^4+z^4+xy^3+yz^3+zx^3-2(x^3y+y^3z+z^3x)$$
不妨设 $x=\min\{x,y,z\}$, 令 $y=x+t, z=x+s$. 代入$f$, 整理为$x$的多项式
$$f(x,x+t,x+s)=3(s^2-st+t^2)x^2+3(s^3+s^2t-2st^2+t^3)x+(s^4+s^3t-2st^3+t^4).$$
计算关于$x$的判别式, 如下
$$-3(s^3-3s^2t+t^3)^2\leq 0.$$
所以原不等式成立.
当然直接配方也可以, 只不过不容易做到.
$$f=\frac{1}{2}\Sigma(x^2-y^2+yz-xy)^2.$$

最后还是要做一点说明: 关于三元四次(四次以下更容易)的齐次不等式(不要求任何对称性), 如
果$(1,1,1)$取到等号(不一定只有这一点取到等号), 则最小代换后关于主变元至多是二
次的不等式, 最后判别式解决问题, 有时判别式都不需要. 所以对这类问题最小代换是一个完全
的方法. 唯一不足的地方是计算量稍大.

色k

回复 7# yao4015

上次你在 forum.php?mod=viewthread&tid=5448 里的讲解更详细一些

yao4015

回复 8# 色k

我原本就是想找这个链接的, 结果没找到. 谢谢你还记得.

色k

回复 9# yao4015

在论坛搜索“最小代换”（全文）就找到了