三元多等不等式

wanhuihua

$$
\eqalign{
  & {\cal 设}a,b,c{\cal 为}{\cal 正}{\cal 实}{\cal 数} {\text{ }}  \cr
  & {\cal 求}{\cal 证}  \cr
  & {\text{ }}\left[ {\sum {\sqrt {(a + b)(a - b)^2 } } } \right]^2 {\text{ }} \geqslant {\text{ 2}}\sum {(a + b)(a - b)^2 }  \cr}
$$

yao4015

令 $a+b=t^2, b+c=s^2,a+c=w^2$, $t,s,w$ 都是正数. 解出 $a,b,c$
\begin{align}
\left \{
\begin{array}{lll}
a=\frac{1}{2}(t^2-s^2+w^2),\\
b=\frac{1}{2}(t^2+s^2-w^2),\\
c=\frac{1}{2}(-t^2+s^2+w^2)
\end{array}
\right .
\end{align}
因为 $a,b,c$ 是正数, 所以 $s^2+t^2>w^2, s^2+w^2>t^2,t^2+w^2>s^2$.
将 (1) 代入原不等式, 转化为
$$(t|s^2-w^2|+s|t^2-w^2|+w|s^2-t^2|)^2-2t^2(-s^2+w^2)^2-2s^2(-t^2+w^2)^2-2w^2(-s^2+t^2)^2\geq 0.$$
不妨设 $s\geq t\geq w$ 去掉绝对值, 化简成
$$(s-t)(t-w)(w+s)(s^2w+st^2+sw^2+t^2w+6stw-tw^2-s^2t)\geq 0.$$
注意到条件 $t^2+w^2>s^2$, 我们有 $s t^2+sw^2>s^3>s^2t$, 所以
$$(s^2w+st^2+sw^2+t^2w+6stw-tw^2-s^2t)=(st^2+sw^2-s^2t)+tw(t-w)+s^2w+6stw> 0.$$
等号成立的条件是 $a,b,c$ 中至少有两个相等.

wanhuihua

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不错，期待下一个不同的证明