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Last edited by hbghlyj 2025-3-9 20:19做不出来 ，求讲解求过程
3．$N$ 为大于等于 2 的自然数，对于满足 $x_1 \leq \cdots \leq x_N$ 的实数 $x_1, \cdots, x_N$ ，按如下方式确定实数 $k_n, p_n, q_n(n=0,1,2, \cdots)$ 。
（A）$k_0=1, p_0=x_1, q_0=x_N$
（B）$n$ 为奇数时，$k_n$ 为满足 $x_i \leq \frac{p_{n-1}+q_{n-1}}{2}$ 的 $x_i$ 的个数，$p_n=p_{n-1}, q_n=q_{n-1}$ 。
（C）$n$ 为正偶数时，$k_n=k_{n-1}, p_n=\frac{1}{k_n} \sum_{i=1}^{k_n} x_i, q_n=\frac{1}{N-k_n} \sum_{i=k_n+1}^N x_i$ ，当 $k_0=0$ 或 $k_n=N$ 时，结束 $k_n, p_n, q_n$ 的计算。
当 $x_1<x_N$ 时，回答以下问题：
（1）求证 $1 \leq k_n \leq N-1$ 与 $x_1 \leq p_n<q_n \leq x_N$ 恒成立，其中下标 $n$ 为正整数。
（2）对于实数 $J_n(n=0,1,2, \cdots), J_n=\sum_{i=1}^{k_n}\left(x_i-p_n\right)^2+\sum_{i=k_n+1}^N\left(x_i-q_n\right)^2$ ，证明对于所有的正整数 $n, J_n \leq J_{n-1}$ 恒成立
（3）$n$ 充分大时，证明 $J_n=J_{n-1}, p_n=p_{n-1}, q_n=q_{n-1}, k_n=k_{n-1}$ 成立
证明：（1）$\frac{k_n \cdot x_1}{k_n} \leq p_n \leq \frac{k_n \cdot x_{k_n}}{k_n}$ ，即有 $x_1 \leq p_n \leq x_{k_n} \leq x_N$ ，同理可得，$x_1 \leq x_{k_n} \leq q_n \leq x_N$ ，
则 $x_1 \leq \frac{p_n+q_n}{2} \leq x_N$ ，故 $1 \leq k_n \leq N$ ，显然 $k_n \neq N$ ，故 $1 \leq k_n \leq N-1$ 。而显然 $x_1 \leq p_n \leq q_n \leq$ $x_N$ ，若 $p_n=q_n$ ，则此时 $x_1=\cdots=x_{k_n}=\cdots=x_N$ ，与 $x_1<x_N$ 矛盾，故 $p_n<q_n$ ，即 $x_1 \leq p_n<q_n \leq$ $x_N$ 恒成立
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