空间求轨迹类型问题

Tesla35

2019-2020温州高二上期末A卷

已知点$A,B$分别是互不垂直的两条异面直线$a,b$上的点,且直线$AB$与$a,b$均垂直,$P\in a,Q\in b$,若直线$PQ$与$AB$所成锐角$\theta$为定值,则$PQ$的中点$M$的轨迹是

椭圆
抛物线
圆
线段

kuing

易见 `\cos\theta=AB/PQ`，所以 `PQ` 为定值，其投影到中点所平面的线段也为定值，于是转化为平面问题：定长线段两端在两互不垂直的相交直线上滑动，求中点轨迹，熟知是椭圆（垂直的话就是圆）。

Tesla35

kuing就是见多识广
一直想着直接拿定义搞，太难了

乌贼

回复 2# kuing
定长线段两端在两互不垂直的相交直线上滑动，求中点轨迹，熟知是椭圆（垂直的话就是圆）
圆好办，椭圆怎么证明？

kuing

回复 4# 乌贼

干脆看这个更一般的情况吧：matrix67.com/blog/archives/2896

乌贼

回复 5# kuing
打开一视野

player1703

回复 5# kuing
我还看到过一个更一般的更漂亮的证明, 利用熟悉的1:2的内圆在外圆内滚动性质, 任何一个定点都在内圆的某条直径(或其延长线)上这条直径的两个端点的轨迹是互相垂直的两条直线就是椭圆的长短轴所在直线

能翻墙的话在这里:
youtube.com/watch?v=7Fn-26Jmi5E

hbghlyj

刚体三角形ABC的顶点A,B在两条交于O的直线上运动，求证：点C的轨迹是一个椭圆

AOB为直角时的证明：取AB中点M，则OM=AB/2是定长，在MC上截取ME=MO，作M关于OE的对称点M'，以O为圆心,OM+CM为半径作圆交AO于C'，则C'M'=CM.

∵EM=OM，且M,M'关于EO对称，
∴OMEM'为菱形，
∴C'M'∥CM，
∴CC'M'M为平行四边形，
∴CC'⊥OE.

设直线C'C,OE交于D,
CM是三角形ABC的中线，故CM是定值，而OM也是定值，故圆O的半径OM+CM为定值，那么C'的轨迹就是这个圆O。要证明C的轨迹是以OE为轴的椭圆，只需证$CD\over CC'$是定值：

$CD\over CC'$=$CD\over MM'$=$EC\over2EM$=定值
由此得出椭圆的长轴和短轴之比为$CD\over C'D$=$EC\over EC+2EM$=$|CM-EM|\over CM+EM$=$|2CM-AB|\over2CM+AB$
椭圆的长轴等于圆O的直径，等于2(OM+CM)=2CM+AB
因此，短轴为|2CM-AB|
焦距为2√(2CM·AB).

当三角形ABC退化为线段时仍成立.利用这个原理可以设计作椭圆的机械,称为“Trammel of Archimedes”：

kuing

matrix67.com/blog/archives/2896

hbghlyj

有没有作抛物线、双曲线的滑杆呢