一个向量问题

力工

我想学习大佬们的刀法！
已知向量$\vec a,\vec b$的模均为$r,(r>\sqrt2)$，且$\vec a\cdot \vec b=0$，若存在实数$x$与单位向量
$\vec c$,使得$|\vec c-\vec a+x(\vec a-\vec b)|+|\frac{1}{2}\vec b+(1-x)(\vec a-\vec b)|\leqslant 1$，
求$r$的最大值。

力工

回复 1# 力工
抛块半截砖吧。
本来我想直接用坐标法算，但最后不得不放弃了。

facebooker

有答案吗

jsbyhcgz

力工

回复 4# jsbyhcgz
如果这样构图就复杂些了。非常有启发，谢谢。
回复 3# facebooker
愿闻翔细过程。
这题计算太南了。

kuing

装逼解法如下：

解：由 $\abs a=\abs b$ 且 `\bm a\cdot\bm b=0` 知
\[\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|=\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|,\]所以
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)-\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\left| \bm c-\frac12\bm a-\bm b \right|\\
&\geqslant\left| \frac12\bm a+\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}不难验证当 `x=2/3` 且 `\bm c=(\bm a+2\bm b)/\bigl(\sqrt5r\bigr)` 时取等，所以上式就是左边的最小值，因此要存在就要满足
\[\frac{\sqrt5}2r-1\leqslant1\iff r\leqslant\frac4{\sqrt5}.\]
PS、题目没说是平面向量，所以补充这个不限维度的装逼解法还是有一点点必要性嘀

jsbyhcgz

回复 6# kuing


    强

facebooker

回复 5# 力工

我的解法跟K神差不多 我错在第一步符号弄反了 应该是- 我按+算的。

力工

回复 6# kuing
强啊，强人额的神kuing，我也想用这个三角不等式，就是受了$\vec a,\vec b$垂直的限制，最后受不了，逃了。

jsbyhcgz

弱化版(2019-2020扬州高三期末填空第14题)

力工

回复 10# jsbyhcgz

两题所表示的几何意义还是不同的。前者如果路走偏就极难算了。

jsbyhcgz

延长PA至PE，使得2PA=PE，然后看四边形BPDE，就明白了。都使用了同一手段，利用向量的数乘，加减运算等法则化为一个向量，再找几何意义等。（与函数消元思想类似）

jsbyhcgz

至于你问的那一题，弱化一下，条件中不等式改为Ic-a+x（a-b）|≤1，求r。意思就差不多了。

其妙

装逼解法如下：
解：由 $\abs a=\abs b$ 且$\bm a\cdot\bm b=0$ 知……，
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| -\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)-\frac12\bm a+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\left| \bm c-\frac12\bm a-\bm b \right|\\
&\geqslant\left| \frac12\bm a+\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}
...
kuing 发表于 2020-1-16 15:23

这个其实不算装逼解法，以前遇到过几次了（但一时半刻找不到例子，题目已经忘了，也是先进行合理的模的代换，再用向量模不等式的放缩），不过参考解答都是用图形解释的，显得自然一些，所以就误认为向量模的放缩就是装逼解答了（也可考虑用闵科夫斯基不等式），
下面也用了的一个向量模的等量代换，即$\abs{-\bm a+x(\bm a-\bm b)}=\abs{\bm b+x(\bm a-\bm b)}$，所以，
\begin{align*}
\text{原不等式左边}&=\abs{\bm c-\bm a+x(\bm a-\bm b)}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\abs{-\bm a+x(\bm a-\bm b)}-\abs{\bm c}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&=\abs{\bm b+x(\bm a-\bm b)}-\abs{\bm c}+\left| \frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|\\
&\geqslant\left| \bm b+x(\bm a-\bm b)+\frac12\bm b+(1-x)(\bm a-\bm b) \right|-\abs{\bm c}\\
&=\left| \bm a+\frac12\bm b \right|-\abs{\bm c}\\
&=\frac{\sqrt5}2r-1,
\end{align*}
以下略，代码幸好可以复制，但是有的代码却不可复制是怎么回事？、