$\sum\sqrt{a b x (a+b+x)}=\sqrt{a b c (a+b+c)}$

hbghlyj

当a,b,c同正或同负时$\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}=\sqrt{a b c (a+b+c)}$至多有2个实根。
证明：设a,b,c均为正，将8个共轭式相乘
$\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}-\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}-\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(-\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}-\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}-\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}+\sqrt{a c x (a+c+x)}-\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$\times\left(\sqrt{a b c (a+b+c)}+\sqrt{a b x (a+b+x)}-\sqrt{a c x (a+c+x)}+\sqrt{b c x (b+c+x)}\right)$
$=(a+b+c+x)^3$
$\times\left(a^2 (b^2 (c - x)^2 - 2 b c x (c + x) + c^2 x^2) - 2 a b c x (b (c + x) + c x) + b^2 c^2 x^2\right)$
$\times\left(x^3 \left(a^2 (b-c)^2-2 a b c (b+c)+b^2 c^2\right)-a b c x \left(2 a^2 (b+c)+a \left(2 b^2-3 b c+2 c^2\right)+2 b c (b+c)\right)+a^2 b^2 c^2 (a+b+c)+x^2 \left(a^3 (b-c)^2+a^2 (b+c)^3+a b c \left(-2 b^2+3 b c-2 c^2\right)+b^2 c^2 (b+c)\right)\right)$，

第一个$(a+b+c+x)^3$给出3个负根$x=-a-b-c$，
第二个是关于x的二次式，$\Delta=16 (a^4 b^3 c^3 + a^3 b^4 c^3 + a^3 b^3 c^4)>0$，
第三个是关于x的三次式，$\Delta=\dots>0$，所以有3个实根。

需要证明原根式方程的实根必是那个关于x的二次式的根。

hbghlyj

正号和负号（三角形$P_1P_2P_3,\dots$面积的加和减）对应于内切和外切。

那个二次方程有两个正根，是两个索蒂圆的半径：en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem#Soddy_circles_of_a_triangle
$$a^2 (b^2 (c - x)^2 - 2 b c x (c + x) + c^2 x^2) - 2 a b c x (b (c + x) + c x) + b^2 c^2 x^2=a^2b^2c^2x^2\left(2(\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{x^2})-(\frac1{a}+\frac1{b}+\frac1{c}+\frac1{x})^2\right)$$
下图来自 A Straightforward Proof of Descartes’s Circle Theorem ：

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2020-1-18 17:56
需要证明原根式方程的实根必是那个关于x的二次式的根。

推广了一下，发到MSE试试看 math.stackexchange.com/questions/4899584/