求证四元不等式

lemondian

已知正实数$a,b,c,d$满足$abcd=1$，求证：$\dfrac{a}{a^3+3}+\dfrac{b}{b^3+3}+\dfrac{c}{c^3+3}+\dfrac{d}{d^3+3}\leqslant 1$。

kuing

新年快乐第一撸，撸道简单题

由均值有
\[\frac a{a^3+3}\leqslant\frac a{3a+1}=\frac13\left( 1-\frac1{3a+1} \right),\]可见只需证
\[\frac1{3a+1}+\frac1{3b+1}+\frac1{3c+1}+\frac1{3d+1}\geqslant1,\]令 `a=xyz/w^3` 等，则由 CS 有
\[\sum\frac1{3a+1}=\sum\frac{w^4}{3xyzw+w^4}\geqslant\frac{(w^2+x^2+y^2+z^2)^2}{12xyzw+w^4+x^4+y^4+z^4},\] 故只需证
\[(w^2+x^2+y^2+z^2)^2\geqslant12xyzw+w^4+x^4+y^4+z^4,\]此乃显然。

力工

新年快乐 ！

lemondian

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新年快乐 ！
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