初等函数及其变形（复数意义下）

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复变函数B 常用公式集锦

是常用的一些公式

• 判别公式
  • 柯西-黎曼方程（C-R 方程）
• 初等函数及其变形（复数意义下）
  • 三角函数与双曲函数
  • 对数函数
  • 一般幂函数
  • 反三角函数
• 积分公式
  • 基础公式
  • 积分表（仍在收集中）

判别公式

柯西-黎曼方程（C-R 方程）

$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{cases}$

用途：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件：$u,v$ 可微并且在 $D$ 内处处满足 C-R 方程

另：此时$\begin{aligned}[t] f'(z)&=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial x}\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\\[-77pt] \end{aligned}$

备注：在原点满足 C-R 方程但不可微的例子：$f(z)=\begin{cases} 0,&z=0\\ \frac{\overline z^3}{|z|^2},&z\not=0 \end{cases}$

另：极坐标系下 C-R 方程变为 $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}\\ \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}=-\frac{\partial v}{\partial r} \end{cases}$，证明过程见习题解答 第二章 第9题

初等函数及其变形（复数意义下）

通过复指数定义

三角函数与双曲函数

基于 $e^{ix}=\cos z+i\sin z$ 与 $e^{-iz}=\cos z-i\sin z$ 可得
$\begin{cases} \sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})\\ \cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}) \end{cases}$

类似有
$\begin{cases} \sinh z=\frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})\\ \cosh z=\frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z}) \end{cases}$

有关系
$\begin{cases} \sinh z=-i\sin iz\\ \cosh z=\cos iz \end{cases}$

导数关系与实数情况一样

性质：$\sin z,\cos z$ 周期为 $2\pi$，$\sinh z,\cosh z$ 周期为 $2\pi i$

对数函数

$\begin{aligned} \operatorname{Ln}z&=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z\\ &=\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)\\ &(k=0,\pm1,\pm2,\cdots) \end{aligned}$

一般幂函数

$\begin{aligned} w&=z^\alpha\\ &=e^{\alpha \operatorname{Ln} z}\\ &=e^{\alpha[\ln|z|+i(\arg z+2k\pi)]}\\ &(k=0,\pm1,\pm2,\cdots) \end{aligned}$

1. $\alpha$ 为正整数时为单值函数
2. $\alpha=\frac{m}{n}$ 且 $(m,n)=1$ 时为 $n$ 值函数
3. 其他情况（无理数，复数）为无穷多值函数

反三角函数

解方程可以得到下列公式，可以现推现用
$\begin{cases} \operatorname{Arcsin} z=-i\operatorname{Ln}(iz+\sqrt{1-z^2})\\ \operatorname{Arccos} z=-i\operatorname{Ln}(\sqrt{1-z^2}+iz)\\ \operatorname{Arctan} z=-\frac{i}{2}\operatorname{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}\\ \operatorname{Arcsh} z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})\\ \operatorname{Arcch} z=\operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\\ \operatorname{Arcth} z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\frac{1+z}{1-z} \end{cases}$

积分公式

基础公式

复积分计算方法：

$$\int_Cf(z)\operatorname{d}z=\int_C(u+iv)(\operatorname{d}x+i\operatorname{d}y)$$

柯西积分公式

$$f^{(n)}(z)=\frac {n!}{2\pi i}\int_C \frac{f(\epsilon)}{(\epsilon-z)^{n+1}}d\epsilon$$

积分表（仍在收集中）

1. $I=\int_C\frac{\operatorname{d}z}{(z-a)^n}=\begin{cases} 2\pi i&(n=1)\\ 0&(n\not=1) \end{cases}$ （可由柯西积分公式推出）

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$\newcommand{\abs}[1]{\left|#1\right|}$ Th. 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在点 $z_0=x_0+i y_0$ 处连续, 当且仅当 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 作为二元函数在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续. 严镇军《复变函数》P19 T7 利用复数的指数式证明下列等式($θ∉πℤ$)： (1) $\sum_{k=1}^n \cos k \theta=-\frac{1}{2}+\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{1}{2} \theta}$; (2) $\sum_{k=1}^n \sin k \theta=\frac{1}{2} \cot \frac{\theta}{2}-\frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{1}{2} \theta}$. Proof: 构造复数列 $\left\{e^{k \theta}\right\}_{k=1}^n$, 求和可得: $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n e^{k \theta} & =\frac{e^{i \theta}\left(1-e^{i n \theta}\right)}{1-e^{i \theta}}=\frac{e^{\frac{i(n+2) \theta}{2}}}{e^{\frac{i \theta}{2}}} \frac{e^{-\frac{i n \theta}{2}}-e^{\frac{i n \theta}{2}}}{e^{-\frac{i \theta}{2}}-e^{\frac{i \theta}{2}}} \\ & =\frac{\sin \frac{n \theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}\left(\cos \frac{n+1}{2} \theta+i \sin \frac{n+1}{2} \theta\right) . \end{aligned} $$ 另一方面, $$ \sum_{k=1}^n e^{k \theta}=\sum_{k=1}^n \cos k \theta+i \sum_{k=1}^n \sin k \theta $$ 因此, 分离虚实部可知 \begin{gathered} \sum_{k=1}^n \cos k \theta=\frac{\sin \frac{n \theta}{2} \cos \frac{n+1}{2} \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}=\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta+\sin \left(-\frac{\theta}{2}\right)}{2 \sin \frac{\theta}{2}}=-\frac{1}{2}+\frac{\sin \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{1}{2} \theta} \\ \sum_{k=1}^n \sin k \theta=\frac{\sin \frac{n \theta}{2} \sin \frac{n+1}{2} \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}=\frac{\cos \left(-\frac{\theta}{2}\right)-\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{\theta}{2}}=\frac{1}{2} \cot \frac{\theta}{2}-\frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) \theta}{2 \sin \frac{1}{2} \theta} \end{gathered} PS: 若无要求用复数的指数式进行证明，可以在原式中分子分母同乘 $\sin\fracθ2$ 后进行积化和差，消去中间项后即可证明。 严镇军《复变函数》P20 T10 (1) 证明: $\abs{z_1+z_2+⋯+z_n}≥\abs{z_1}-\abs{z_2}-⋯-\abs{z_n}$; (2) 设 $0<a_0≤a_1≤⋯≤a_n$, 证明：方程 $$ P(z)=a_0 z^n+a_1 z^{n-1}+⋯+a_{n-1} z+a_n=0 $$ 在圆 $\abs{z}<1$ 内无根. [提示：证明 $\abs{(1-z) P(z)}>0,∀\abs{z}<1$.] Eneström-Kakeya Theorem (1)Proof: a) 当 $n=1$ 时, 显然成立; b) 当 $n=2$ 时, 可得: $$ \abs{z_1+z_2}^2=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2+2 \operatorname{Re}\left(z_1 \overline{z_2}\right)≥\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2-2\abs{z_1}\abs{\overline{z_2}}=\left(\abs{z_1}-\abs{z_2}\right)^2 $$ 因此可得 $\abs{z_1+z_2}≥\abs{z_1}-\abs{z_2}$, 不等式成立. c) 假设当 $n=k(k>2)$ 时成立, 即 $$ \abs{z_1+⋯+z_k}≥\abs{z_1}-⋯-\abs{z_k} $$ 那么当 $n=k+1$ 时, 由 b) 可得 $$ \abs{z_1+⋯+z_k+z_{k+1}}≥\abs{z_1+⋯+z_k}-\abs{z_{k+1}}≥\abs{z_1}-⋯-\abs{z_k}-\abs{z_{k+1}} $$ 不等式成立. 综上所述, 不等式 $\abs{z_1+z_2+⋯+z_n}≥\abs{z_1}-\abs{z_2}-⋯-\abs{z_n}$ 得证. (2)Proof: 当 $\abs{z}<1$ 时, 由$\left(a_n-a_{n-1}\right)\abs{z}≤a_n-a_{n-1},…,\left(a_1-a_0\right)\abs{z}^n≤a_1-a_0,a_0\abs{z}^{n+1}<a_0$可得 \begin{aligned} \abs{(1-z) P(z)} & =\abs{a_n+\left(a_{n-1}-a_n\right) z+⋯+\left(a_0-a_1\right) z^n-a_0 z^{n+1}} \\ &≥ a_n-\left(a_n-a_{n-1}\right)\abs{z}-⋯-\left(a_1-a_0\right)\abs{z}^n-a_0\abs{z}^{n+1} \\ &>a_n-\left(a_n-a_{n-1}\right)-⋯-\left(a_1-a_0\right)-a_0 \\ &=0 \end{aligned}因此当 $\abs{z}<1$ 时, $\abs{(1-z) P(z)}=\abs{1-z}>0$, 则 $P(z)$ 在圆 $\abs{z}<1$ 内无根. 拓展题：设 $0<a_0≤a_1≤⋯≤a_n$, 证明：方程 $$ Q(z)=a_0+a_1 z+⋯+a_{n-1} z^{n-1}+a_n z^n=0 $$ 在 $\abs{z}>1$ 内无根. [提示: 证明 $\abs{(z-1) Q(z)}>0$ 即可.] 严镇军《复变函数》P20 T11 证明下列三个条件中的任意一个都是三点 $z_1, z_2, z_3$ 共线的充要条件: (1) $\frac{z_1-z_2}{z_2-z_3} \in \mathbb{R} ; \quad$ (2) $\overline{z_1} z_2+\overline{z_2} z_3+\overline{z_3} z_1 \in \mathbb{R} ;$ 复数 三点共线的充要条件 (3) 存在不全为零的实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 使得 \begin{cases} \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0 \\ \lambda_1 z_1+\lambda_2 z_2+\lambda_3 z_3=0 \end{cases}补充题 6. 试证明: 四相异点 $z_1, z_2, z_3, z_4$ 共圆周或共直线的充要条件为 $$ \frac{z_1-z_4}{z_1-z_2}: \frac{z_3-z_4}{z_3-z_2} \in \mathbb{R} . $$ 7. 已知三角形的三顶点为 $z_1, z_2, z_3$, 试求其面积. 8. 试证明: 以 $z_1, z_2, z_3$ 为顶点的三角形和以 $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ 为顶点的三角形同向相似的充要条 件为 $$ \begin{vmatrix} z_1 & \omega_1 & 1 \\ z_2 & \omega_2 & 1 \\ z_3 & \omega_3 & 1 \end{vmatrix}=0 $$ 9. 证明: $\lim _{z→0} \frac{z}{\abs{z}}$ 以及 $\lim _{z→0} \frac{\operatorname{Re}(\bar{z})}{z^2}$ 不存在. 10. 考察下列函数在 $z=0$ 的连续性： (1)$f(z)=\begin{cases}\frac{\operatorname{Re}\left(z^{2}\right)}{\abs{z^{2}}} & (z \neq 0) \\ 0 & (z=0)\end{cases}$ (2)$g(z)=\begin{cases}\frac{\operatorname{Re}(z)^{2}}{\abs{z}}&(z \neq 0) \\ 0 & (z=0)\end{cases}$ PS: 本部分题目参考自柯导明《数学物理方法习题全解》以及钟玉泉《复变函数学习指导书》，仅节选部分题目，以及给出解答提示，详细解答将在习题课上评讲，也可自己翻书参考. 提示 6. 分两种情况：两个数同时为实数，不同时为实数，结合几何图形进行理解. 7. 以代数式写出表示三角形面积的矩阵，随后化简. 8. 同向相似当且仅当对应的角相等，模成比例. 9. 以代数式化简式子，随后取特殊路径说明即可. 10. 以代数式化简式子后即可得知：(1) 不连续; (2) 连续.

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