$\frac{P(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{Q(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}=\sqrt3+\sqrt2$

hbghlyj

求整系数多项式$P(x),Q(x)$满足$\frac{P(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}{Q(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)}=\sqrt3+\sqrt2$

hbghlyj

第一种.$\frac{3x^4-20x^2+24}{4x^3}$
$x=\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5,x^2=10+2(\sqrt6+\sqrt{10}+\sqrt{15})$,令$y=\sqrt6+\sqrt{10}+\sqrt{15}=\frac{x^2-10}2$,$y^2=31+2\sqrt{30}x,\sqrt{30}=\frac{y^2-31}{2x}$
$\sqrt{30}=\frac{\sqrt5x^2-10x}2$,
$\sqrt5=\left(\frac{y^2-31}{2x}+5x\right)\frac2{x^2}=\frac{y^2-31+10x^2}{x^3}$得$\sqrt2+\sqrt3=x-\sqrt5=x-\frac{y^2-31+10x^2}{x^3}=x-\frac{\left(\frac{x^2-10}2\right)^2-31+10x^2}{x^3}$
第二种.$\frac{1}{576} x \left(-5 x^6+194 x^4-1520 x^2+3120\right)$
$x=\sqrt 2+\sqrt 3+\sqrt 5$是8次代数数,将$x,x^2,\cdots,x^7$列出,解线性方程组即可.

hbghlyj

√2+√3+√5的整系数的多项式之比，与√2+√3+√5的有理系数的多项式，所能表示的数的集合是相等的.即
{P(√2+√3+√5)/Q(√2+√3+√5)|P(x),Q(x)∈Z[x]}={P(√2+√3+√5)/q|P(x)∈Z[x],q∈Z}
往Q上加一个代数元x，Q[T]/(x的极小多项式)=Q[x]是个域，它=Q(x)=Z(x)

青青子衿

能不能整参数表示这两个整系数多项式呢？