设p(t)是二次多项式,容易验证p(1)+p(4)+p(6)+p(7)=p(2)+p(3)+p(5)+p(8)
(a)将$\le$16的正整数划分为两个集合A,B,使得对任意三次多项式p(t),$\sum\limits_{t\in A}p(t)=\sum\limits_{t\in B}p(t)$
(b)证明:m是正整数,$\le2^{m+1}$的正整数可划分为两个集合A,B,使得对任意$\le$m次多项式p(t),$\sum\limits_{t\in A}p(t)=\sum\limits_{t\in B}p(t)$
这个问题可以简化为:$\le2^{m+1}$的正整数可划分为两个集合A,B,对于k=0,1,2,...,m,它们的元素的k次幂和相等
(c)求不交的整数集合$\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$与$\{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$,对于k=0,1,2,...,m,它们的元素的k次幂和相等
m=2时,{1,5,6}与{2,3,7}的元素和均为12,平方和均为62.证明:不存在二元集A,B,它们的元素和、平方和相等
对于固定的m,求集合$\{a_i\},\{b_i\}$的元素个数的最小可能值.由(b)可知,n可以等于$2^m$.是否存在更小的n? |
