在人教论坛看到的一道2013四川初赛题

kuing

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设r是给定的正实数,则圆(x-1)^2+(y-根号2)^2=r^2上的有理点
A多有一个   B最多有两个   Ｃ最多有四个　　Ｄ可以有无穷多个

题目：设 $r$ 是给定的正实数，则圆 $(x-1)^2+\bigl(y-\sqrt2\bigr)^2=r^2$ 上的有理点
A. 最多有一个    B. 最多有两个    C. 最多有四个    D. 可以有无穷多个

假设圆上有两个有理点 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$，则
\[\left\{\begin{aligned}
(x_1-1)^2+\bigl(y_1-\sqrt2\bigr)^2&=r^2,\\
(x_2-1)^2+\bigl(y_2-\sqrt2\bigr)^2&=r^2,
\end{aligned}\right.\]
相减得
\[(x_1-1)^2-(x_2-1)^2+\bigl(y_1+y_2-2\sqrt2\bigr)(y_1-y_2)=0,\]
由于 $(x_1-1)^2-(x_2-1)^2$ 和 $y_1-y_2$ 都为有理数，而 $y_1+y_2-2\sqrt2$ 为无理数，故要上式成立只能 $y_1-y_2=0$，也就是说如果圆上存在理点，那么它们的纵坐标将是唯一的，所以最多只能有两个有理点。

另一方面，当 $r=\sqrt3$ 时，圆上确实能有两个有理点 $(0,0)$ 和 $(2,0)$。

综上所述，选 B。

nash

很严谨

kuing

回复 2# nash

还好啦
不过……除了这样做还能怎样做？……