$e^x=P(x)$有n+1个根

hbghlyj

n为正整数,求n次多项式P(x),使$e^x=P(x)$有n+1个不同的实根
n=1,P(x)=(e-1)x+1,x=0,1

realnumber

P(x)=10(x+1)(x+2).....(x+n)就符合吧
因为$0<e^x<0.5,x<-1$,所以x=-1,-2,...-n附近有n个根,最后一个根在$(0,+\infty)$,x足够大时,$e^x>Ax^n$

hbghlyj

回复 2# realnumber
哦哦,这个解法利用了x轴是$y=e^x$的渐近线.
如果改为"有n+1个不同的正实根"呢

realnumber

这样?，过点$(1,e)(2,e^2),....,(n,e^n)$插值公式用一下，n个根1，2，，n
还有最后一个根在$(n,+\infty)$,最后一根显然，但证明怎么证啊，包括2楼说法

保险些还是这样吧$P_n(x)=10n^n(x-\frac{1}{n})(x-\frac{2}{n})....(x-\frac{n}{n})$,与2楼没大的区别

Czhang271828

$n$ 次多项式 $P_n(x)$ 与 $e^x$ 至多有 $n+1$ 个交点吧.

显然 $e^x-P_n(x)$ 的零点数量不超过驻点数量 $+1$. 驻点即一阶导为 $0$ 的点, 即 $P'_n(x)$ 与 $e^x$ 之交点. 数学归纳显然.