初中几何一题，证线段相等

hbghlyj

在锐角$\triangle$ABC中,$\angle B>\angle C$,M是BC中点,BE,CF是高,G,H分别是ME,MF中点,过A作BC平行线交GH于I,求证：IA=IM

乌贼

如图：$ AB $为园$ O $的直径，P为园外一点，$ \triangle PAB $为锐角三角形，$ PA、PB $分别交园于$ C、D $两点，$ CD $与$ AB $交于点$ E $，$ F $为$ AD $与$ CB $交点。求证：$ \angle EPB=\angle AFO $

力工

回复 2# 乌贼
神人！

乌贼

回复 1# hbghlyj
标答？

乌贼

如图：
   
延长$ EF $分别交$ AI、BC $于$ K、D $，延长$ GH $交$ BC $于$ P $有\[ DP=PM=KI \]取$ EF $的中点$ N $，作$ D $在$ AM $上的垂足$ Q $，有$ DMQN  $四点共圆，得\[ \angle KNQ=\angle QMD=\angle QAK \]即$ ANQK $四点共圆。得\[ \angle ANK=\angle AQK \]又\[ \triangle AEF\sim \triangle ABC \riff\begin{gather*}
\begin{cases}
\angle AEF=\angle ABC\\\dfrac{AE}{EF}=\dfrac{AB}{BC}
\end{cases}
\riff\begin{cases}
\angle AEF=\angle ABC\\\dfrac{AE}{EN}=\dfrac{AB}{BM}
\end{cases}
\riff \triangle AEN\sim \triangle ABM\riff\angle AQK=\angle ANE=\angle AMB=\angle PQM
\end{gather*}\]即$ PQK $三点共线且\[ \begin{gather*}
\begin{cases}
AK=KQ\\PM=PQ
\end{cases}\riff PK=AK+KI=AI
\end{gather*} \]

还有\[ KI\pqd PM \riff IM=PK=IA\]