求参数可能取值

Shiki

确定实数$\alpha$的范围，使得对不相等的正实数$x,y$

$$|\frac{1}{1+x^{\alpha}}-\frac{1}{1+y^{\alpha}}| \leq |x-y|$$


恒成立。

论坛好卡。。。。

hbghlyj

等价于$f(x)=\frac1{1+x^\alpha},x\in\mathbf R^+$的割线斜率$\in$[-1,1],
等价于$f'(x)=-\frac{\alpha  x^{\alpha -1}}{\left(x^{\alpha }+1\right)^2}\in[-1,1],\forall x\in\mathbf R^+$.
$f''(x)=\frac{\alpha  x^{\alpha -2} \left(-\alpha +\alpha  x^{\alpha }+x^{\alpha }+1\right)}{\left(x^{\alpha }+1\right)^3}$,
所以$\alpha\in[-a,-1]\cup[1,a]$
其中a=3.717430610620688...为$-\frac{\alpha ^2-1}{4 \alpha }\left(\frac{\alpha +1}{\alpha -1}\right)^{\frac1\alpha } $的零点

hbghlyj

回复 1# Shiki
请看，2#的过程有问题吗？

Shiki

回复 3# hbghlyj


    应该没问题