一向量三角形求角

力工

我好累，用了坐标算。
内接于圆$O$的$\triangle ABC$的内心为$I$，若角$B=\frac{π}{4}$,且$\bm{OI}\px \bm{BC}$，求$\cos C$的值.

求大神高人高明的指导

色k

由平行知 r=RcosA，又熟知 cosA+cosB+cosC=1+r/R，故 cosB+cosC=1。

hbghlyj

我来介绍一个点
I关于BC中点对称到I',外接圆的不含A的弧BC的中点为D,则I'D这种直线共有3条,它们共点于外接圆上一点P,且PA=PB+PC(如果P在弧BC上)

如果OI∥BC，那么P就是A的对径点，因为PA=PB+PC，所以cosB+cosC=1。

力工

回复2# 色k
3# hbghlyj [/b]
厉害了，玩得好溜！强@色k,@hbghlyj

乌贼

如图：
  
$ ACDE $为正方形，易证\[ \angle BIE=45\du  \]延长$ CI $交园于$ F $，连接$ DF $交$ BI $于$ M $，有\[ \angle MIE=\angle MFE=45\du  \]即$ IMEF $四点共圆，得$ \triangle IME $为等腰直角三角形，又$ \triangle CDE $也为等腰直角三角形，故\[ \angle DEM=\angle CEI \]作$ BN\perp DF $交$ AD $于$ N $，有\[ DB=DN\\ BF=FN \]又\[ FN=FB=FI=FA \]，因此$ AINB $四点共圆且圆心为$ F $得\[ \angle BIN=\angle BAN=\angle 1 \]及\[ \angle NFI=2\angle NBI=\angle NMI \]所以$ INMEF $五点共圆，有\[ \angle NEM=\angle NIM=\angle 1\riff\angle DEN=\angle BEM=22.5\du \riff \angle AEN=\angle ANE=67.5\du \riff AN=AE \]令$ AC=1 $，有\[ \cos C=\cos D=\dfrac{BD }{AD}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]