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鄂B****林(3086*****) 2020/3/6 12:39:49
请教一下，16题
答案这么给：
（题目来自湖南师范大学附属中学2020届高三月考（六）数学（理）试题）
这给的答案也太坑了点……
其实在 2011 年我就撸过类似的题——《撸题集》P.794~795 题目 5.6.36。
当年的比较容易，可以建议递推关系，现在这个麻烦一些，但也没必要像答案那样全部列出来算，可以继续沿用书中解法二的方法。
首先解决第一个和式，因为 `f(2k+1)=2k+1`, `f(2k)=f(k)`，故
\begin{align*}
&f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(100)\\
={}&1+3+5+\cdots+99+f(2)+f(4)+f(6)+\cdots+f(100)\\
={}&1+3+5+\cdots+99+f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50),
\end{align*}所以
\[f(51)+f(52)+\cdots+f(100)=1+3+5+\cdots+99=2500;\]
再处理第二个和式，由 `[50/2]=25`, `[50/2^2]=12`, `[50/2^3]=6`, `[50/2^4]=3`, `[50/2^5]=1`，得
\begin{align*}
&f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)\\
={}&f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(49)\\
&+f(2\cdot1)+f(2\cdot3)+f(2\cdot5)+\cdots+f(2\cdot25)\\
&+f(2^2\cdot1)+f(2^2\cdot3)+f(2^2\cdot5)+\cdots+f(2^2\cdot11)\\
&+f(2^3\cdot1)+f(2^3\cdot3)+f(2^3\cdot5)\\
&+f(2^4\cdot1)+f(2^4\cdot3)\\
&+f(2^5\cdot1)\\
={}&1+3+5+\cdots+49\\
&+1+3+5+\cdots+25\\
&+1+3+5+\cdots+11\\
&+1+3+5\\
&+1+3\\
&+1\\
={}&\left( \frac{50}2 \right)^2+\left( \frac{25+1}2 \right)^2+\left( \frac{12}2 \right)^2+\left( \frac62 \right)^2+\left( \frac{3+1}2 \right)^2+1\\
={}&844,
\end{align*}所以结果就是 `2500-844=1656`。
总结起来就是：给定正整数 `N`，令
\begin{align*}
a_k&=\left[ \frac N{2^k} \right],\\
b_k&=\led
&\left( \frac{a_k}2 \right)^2, && a_k~\text{为偶数，}\\
&\left( \frac{a_k+1}2 \right)^2, && a_k~\text{为奇数，}
\endled
\end{align*}其中 `k` 是自然数，则
\[\sum_{i=1}^Nf(i)=\sum_{i=0}^{\infty}b_i.\] |
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myyour
Posted 2021-3-16 17:29
