一道解三角形

hbghlyj

锐角$\triangle ABC$中,$\cos B\cos C=\sin\left(B+\frac\pi3\right)\sin C$,b=1,求三角形的周长的取值范围

hbghlyj

$\tan C=\frac{\cos B}{\sin\left(B+\frac\pi3\right)}$,$a+c=\frac{\tan B\sin\left(B+\frac\pi3\right)+\cos B+1}{\sqrt{\tan^2B\sin^2\left(B+\frac\pi3\right)+\sin^2B}}$

kuing

锐角$\triangle ABC$中,$\cos B\cos C=\sin\left(B+\frac\pi3\right)\sin C$,b=1,求三角形的周长的取值范围
hbghlyj 发表于 2020-3-9 14:57

对已知等式的右边展开，再把左边除过去得
\[1=\left( \frac12\tan B+\frac{\sqrt3}2 \right)\tan C,\]也即
\[\tan B=2\cot C-\sqrt3,\]故当 `C` 递增时，`B` 递减，所以 `c=\sin C/\sin B` 递增，另一方面
\[a=\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin B\cos C+\cos B\sin C}{\sin B}=\cos C+\frac{\sin C}{\tan B}=\cos C+\frac{\sin C}{2\cot C-\sqrt3}=f(C),\]求导得
\[f'(C)=\frac{3\sqrt3\cos C-\sin C}{\bigl( 2\cot C-\sqrt3 \bigr)^2},\]由 `2\cot C-\sqrt3>0` 可知 `3\sqrt3\cos C-\sin C>0`，所以 `f'(C)>0`，即 `a` 关于 `C` 递增。

综上所述，周长关于 `C` 递增，所以接下来只需求出 `C` 的范围，待续……

hbghlyj

回复 2# hbghlyj
$\tan C>\tan (\frac\pi2-B)$
$B\in\left(\frac\pi3,\frac\pi2\right)$
a+c关于B单调递减
$a+b+c\in\left(2,1+\sqrt3\right)$
我做得比较繁。请看，有问题吗？