三角函数不等式

敬畏数学

再一个三角函数的不等式，$ f(x)=\ln x+\dfrac{a-1}{x}，g(x)=\dfrac{a(\sin x+1)-2}{x} ,a\inR,$（1）求$f(x)$的极小值；(2）证明:$-1\leqslant a\leqslant 1,f(x)>g(x)$

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回复 1# 敬畏数学 期盼高手。。。。。解答一下。谢谢！第一问是否有用?想了一想没有结果。

山川浮云

$f(x)>g(x)即x\ln x-a\sin x+1>0\\
令h(x)=x\ln x-a\sin x+1\\
当x>=1时易证结论成立（x\ln x>=0,-a\sin x>=-1）\\
则当0<x<1时，h'(x)=\ln x+1-a\cos x(可证其递增）\\
所以存在x_0\in(0,1)使h'(x_0)=0即\ln x_0+1-a\cos x_0=0\\
在x_0处h(x)_{min}=x_0\ln x_0-a\sin x_0+1=a(x_0\cos x_0-\sin x_0)+(1-x_0)\\
因x_0\in(0,1) 时,x_0\cos x_0-\sin x_0<0 则a\in[-1,0]时，h(x)_{min}>0 得证\\
当a\in(0,1]时，h(x)_{min}=x_0\ln x_0-a\sin x_0+a\cos x-\ln x_0=(x_0-1)\ln x_0+a(\cos x_0-\sin x_0)>0\\
综上-1\le a\le 1,f(x)>g(x). $
做起来累，打上来更累。